5.7 三角函数的应用

D。$15$ 分钟是半圈，从最低点转到了最高点：$60+50=110$ 米。

再过 $15$ 分钟回到最低点 $10$ 米；第 $45$ 分钟又在最高点……高度每 $30$ 分钟重复一次，这就是周期现象。

可第 $4$ 分钟、第 $11$ 分钟在多高？这一节用 5.6 学的 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 把高度写成时间的函数，再用它回答这类问题。潮水涨落、弹簧振动也是一样的办法。

B。周期 $T=\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}$ 秒，一秒来回 $\frac{1}{T}=2$ 次，这就是频率。选 A 是把 $\omega$ 当成了次数，$\omega =4\pi$ 是每秒转过的弧度；C 是周期（单位是秒）；D 是振幅（单位是厘米）。看单位能分清。

B。代 $t=0$ 应该得到最低点 $10$ 米：B 是 $50\times (-1)+60=10$。

A 代进去得 $60$，是从中心高出发，漏了初相。C 把「30 分钟一圈」直接当成 $\omega$，应是 $\frac{2\pi }{30}=\frac{\pi }{15}$。D 把半径和中心高弄反了，最低点会是 $-10$，钻到地下。

B。$\sin \frac{\pi }{6}t\ge \frac{1}{2}$。$t$ 从 $0$ 到 $24$，$\frac{\pi }{6}t$ 走了两圈（$0$ 到 $4\pi$），满足的有两段：$1\le t\le 5$ 和 $13\le t\le 17$，共 $8$ 小时。选 A 的同学只找了第一圈：周期是 $12$ 小时，一天有两个周期。

C。最大 $B+A=10+3=13$ 米；$T=\frac{2\pi }{\pi /6}=12$ 小时。A 把 $\omega$ 当成了周期；B 的 $10$ 是平均水深；D 的 $3$ 是振幅。

D。$A=\frac{30-18}{2}=6$，$B=\frac{30+18}{2}=24$。最低到相邻最高隔 $12$ 小时，是半个周期，$T=24$，$\omega =\frac{2\pi }{24}=\frac{\pi }{12}$。A 忘了除以 $2$；B 把 $12$ 小时当成了整个周期；C 把最低温当成了平衡位置。

B。（时间范围）$t$ 从 $8$ 到 $14$，$\frac{\pi }{12}t-\frac{2\pi }{3}$ 从 $0$ 走到 $\frac{\pi }{2}$，只走了四分之一个周期：$y$ 从 $18$ 升到 $24$，差 $6$ ℃。选 A 是直接用了「最大值 $-$ 最小值 $=2A$」，可那要括号走满半个周期以上、并且经过最高和最低才成立。题目给了时间范围，就要在这个范围里算。

B。（负参数先规范）振幅是长度，必须是正的，A 不对。$-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $h=20\sin \left(\frac{\pi }{5}t-\frac{\pi }{2}\right)+25$。检验：$t=0$ 时原式 $h=-20+25=5$，是最低点；C 代 $t=0$ 得 $45$，是最高点，弄反了。

C。（可取的有向平移量为 $-\frac{\phi }{\omega }$，还可相差整数个周期 $30$ 分钟）$\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{15}(t-7.5)$，所以 $h_1(t)=h_2(t-7.5)$，向右 $7.5$ 分钟。选 A 是直接拿 $\phi$ 当平移量。也可以这样想：从最低点转到中心高要四分之一圈，$30÷4=7.5$ 分钟，所以 $h_1$ 比 $h_2$ 晚 $7.5$ 分钟到中心高。

B。记 $u=\frac{\pi }{15}t$，小明 $h_1=60-50\cos u$，小红 $h_2=60-50\cos \left(u-\frac{\pi }{3}\right)$（晚 $5$ 分钟，括号少 $\frac{\pi }{15}\times 5=\frac{\pi }{3}$）。

$h_1-h_2=50\left[\cos \left(u-\frac{\pi }{3}\right)-\cos u\right]=50\sin \left(u-\frac{\pi }{6}\right)$（用两角差公式展开再合并），最大 $50$。

几何上看：两个轿厢在圆上相隔 $60^{\circ }$，连线（弦）长 $2\times 50\times \sin 30^{\circ }=50$，竖直方向的差不会超过弦长，弦竖直时正好等于它。选 D 的同学以为两人能一高一低在直径两端，可他们只差六分之一圈。