5.5 三角恒等变换

B。$\cos (60^{\circ }-30^{\circ })=\cos 30^{\circ }\approx 0.866$；$\cos 60^{\circ }-\cos 30^{\circ }\approx 0.5-0.866=-0.366$，连正负号都不一样。

所以 $\cos$ 不能像乘法分配律那样「拆开」。那 $\cos (60^{\circ }-30^{\circ })$ 该怎么用 $60^{\circ }$、$30^{\circ }$ 各自的值算出来？试试这个：

$\cos 60^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }\sin 30^{\circ }=0.5\times 0.866+0.866\times 0.5\approx 0.866$。

正好对上。这一节就讲这条公式，以及由它换出来的一串公式。

B。$\cos 75^{\circ }=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0.259$。选 A 的同学中间用了加号：和角的余弦中间是减号，A 其实是 $\cos 15^{\circ }$。C 是 $\cos 45^{\circ }+\cos 30^{\circ }$，约 $1.57$，比 $1$ 还大，余弦不可能这么大。

A。$\sin 15^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0.259$。选 B 的同学把差角正弦中间写成了加号；C 是 $\sin 45^{\circ }-\sin 30^{\circ }$，又「拆开」了。

B。手里有 $\cos \alpha$，用 $2{\cos }^2\alpha -1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$。选 A 是把 $\cos 2\alpha$ 当成 $2\cos \alpha$；选 C 是把 $\cos \alpha$ 代进了 $1-2{\sin }^2\alpha$ 那个式子，名字对不上。

B。$R=\sqrt{9+16}=5$。选 A 的同学让 $\sin x$ 和 $\cos x$ 同时等于 $1$，可它们不会同时取到 $1$（平方和要是 $1$），所以 $7$ 到不了。

A。$\frac{2\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。选 B 是把 $\sin 2\alpha$ 当成 $2\tan \alpha$，正弦不会大于 $1$；C 是 $\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$，算成了 $\tan 2\alpha$。

B。锐角的余弦、正弦都为正：$\cos \alpha =\frac{4}{5}$，$\sin \beta =\frac{12}{13}$。$\cos (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65}$。选 A 的同学中间用了加号，那是 $\cos (\alpha -\beta )$；D 是 $\sin (\alpha +\beta )$。

B。$\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}$。选 A 是直接写成 $\sin 30^{\circ }$，忘了凑 $2$ 时要补的 $\frac{1}{2}$；C 是把角翻成了 $60^{\circ }$。

C。代公式时分母是 $1-\tan \alpha \tan \beta =1-2\cdot \frac{1}{2}=0$。

分母为 $0$ 说明 $\cos (\alpha +\beta )=0$，即 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}+k\pi$，$\tan (\alpha +\beta )$ 没有定义。A 是把分母写成了 $1+\tan \alpha \tan \beta$；B 是看到分母为 $0$ 就随手当成 $1$。正切的和差公式只在所有正切都有意义、分母不为 $0$ 时才能用。

B。由 $\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1$ 得 ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{4}$，开方只能先得到 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。

符号看半角的范围：$\frac{3\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<\pi$，在第二象限，余弦为负。验证：$\alpha =\frac{5\pi }{3}$，$\frac{\alpha }{2}=\frac{5\pi }{6}$，$\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。A 是习惯性取正；C 是范围给了却没用上。

B。$\sin x$ 可能等于 $0$，不能直接约掉。应该移项提因式：$\sin x(2\cos x-1)=0$，所以 $\sin x=0$ 或 $\cos x=\frac{1}{2}$。前者给出 $x=0,\pi$，后者给出 $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$，一共 $4$ 个解。小明丢了 $0$ 和 $\pi$。

A。比「角」：已知 $\alpha$ 和 $\alpha +\beta$，目标 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$。

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$；$0<\alpha +\beta <\pi$，正弦为正，$\sin (\alpha +\beta )=\frac{12}{13}$。

$\sin \beta =\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha =\frac{12}{13}\cdot \frac{4}{5}-\frac{5}{13}\cdot \frac{3}{5}=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65}$。选 B 的同学中间用了加号；C 是 $\sin (\alpha +\beta )$ 取了负号，可锐角 $\beta$ 的正弦不会是负的。