5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)

弹簧上的小球、秋千、交流电，都在「一上一下、周而复始」。它们的图象就是把 $y = sin x$ 拉高、压扁、左右挪一挪得到的 $y = A sin (ω x + φ)$ 。这一节先把 $A$ 、 $ω$ 、 $φ$ 一个一个看清，再合起来。

本节知识点正弦图象的平移与伸缩正弦型函数的参数与区间性质

第 1 步

从例子进入

两个小球各挂在一根弹簧下，上下振动。以静止时的位置为 $0$ ，向上为正，单位厘米。点下面的按钮，对比甲球和乙球的弹簧振幅与波形快慢：

甲球：最高到 $3$ ，最低到 $- 3$ ，每 $2$ 秒完整地上下一次。
乙球：最高到 $5$ ，最低到 $- 5$ ，每 $1$ 秒完整地上下一次。

互动演示载入中

想一想

和甲比，乙的振动是？

看答案与解析

答案：A

A。 $5$ 比 $3$ 高，幅度大； $1$ 秒一次比 $2$ 秒一次快。

写成函数（都从 $0$ 往上出发， $t$ 是秒）：甲 $y = 3 sin (π t)$ ，乙 $y = 5 sin (2 π t)$ 。前面的 $3$ 、 $5$ 管「多高」； $t$ 前面乘的 $π$ 、 $2 π$ 管「多快」，乘得越大，上下一次用的时间越短。

要是乙比甲晚一点出发，括号里还会多加一个数。这一节就讲 $y = A sin (ω x + φ)$ 里的这三个数： $A$ 管多高， $ω$ 管多快（多密）， $φ$ 管从哪儿出发。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词：参数物理几何角色与双轨变换体系

要用到：正弦函数图象与五点法（5.4）、诱导公式（5.3）。先看微图解：

互动演示载入中

2. 核心公式与参数解系矩阵

先讨论非退化情形 $A ω \neq = 0$ 。若 $A = 0$ 或 $ω = 0$ ，函数为常值，没有最小正周期；含 $φ / ω$ 或横向伸缩的式子要求 $ω \neq = 0$ 。读图简式“最高值定 $A$ 、 $ω = 2 π / T$ 、最高点相位为 $π /2$ ”先约定 $A > 0, ω > 0$ ；也可保留绝对值与符号分支。

想一想

自己试试： $y = \frac{1}{2} sin x$ 的值域和最小正周期是？

看答案与解析

答案：B

B。 $A$ 只管上下，不碰横向，周期还是 $2 π$ 。选 A 的同学以为压扁了周期也会变；选 C 是把「乘 $\frac{1}{2}$ 」当成了「除以 $\frac{1}{2}$ 」。

想一想

自己试试： $y = sin \frac{x}{2}$ 的最小正周期是？

看答案与解析

答案：C

C。 $ω = \frac{1}{2}$ ， $T = 2 π \div \frac{1}{2} = 4 π$ 。 $ω$ 小于 $1$ ，图象被横向拉长。选 A 的同学拿 $2 π$ 乘了 $\frac{1}{2}$ ：周期是除以 $ω$ 。

想一想

自己试试： $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象由 $y = sin x$ 怎样得到？

看答案与解析

答案：B

B。 $x$ 加正数，向左。选 A 是记反了：新图在 $x = - \frac{π}{6}$ 处才是 $sin 0$ ，起点挪到了左边。选 C 的同学把括号里加的数当成了加在外面。

想一想

自己试试：把 $y = sin x$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{4}$ ，得到的是？

看答案与解析

答案：C

C。第一步得 $y = sin 2 x$ ；第二步把 $x$ 换成 $x - \frac{π}{4}$ ，得 $sin 2 (x - \frac{π}{4}) = sin (2 x - \frac{π}{2})$ 。选 A 是把平移量直接写进括号，没有乘 $ω = 2$ ，那是「先平移后伸缩」的结果。在「动手」② 里选路线二，看金点移了多少。

3. 三步破题思维链：从图象特征反推解析式与变换步骤

例题示范：已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0, ω > 0, ∣ φ ∣ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象最高点为 $(\frac{π}{6}, 2)$ ，与其相邻的最低点为 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ 。求其解析式及由 $y = sin x$ 经过先伸缩后平移得到的变换步骤。

第一眼破题信号：最高点纵坐标为 $2$ ，最低点为 $- 2$ ，振幅 $A = 2$ 秒定！相邻峰谷水平跨度为半个周期： $\frac{T}{2} = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 。

第二步定 $ω$ 并代最高点定 $φ$ ：

• 周期 $T = π ⟹ ω = \frac{2 π}{T} = 2$ 。

• 代入最高点 $(\frac{π}{6}, 2)$ ：令整体相位取波峰值： $2 \times \frac{π}{6} + φ = \frac{π}{2} + 2 k π ⟹ φ = \frac{π}{6} + 2 k π$

• 结合 $∣ φ ∣ < \frac{π}{2}$ ，取 $k = 0$ 得 $φ = \frac{π}{6}$ ，解析式为 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ！

第三步双轨平移量核验与防坑：

若要求先伸缩后平移：先将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到 $y = sin 2 x$ ；提系数 $2 (x + \frac{π}{12})$ ，例如向左平移 $\frac{π}{12}$ 单位（绝不是 $\frac{π}{6}$ ！），最后纵坐标伸长到 $2$ 倍！

想一想

自己试试： $y = A sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）的图象上，相邻的一个最高点和一个最低点，横坐标相差 $\frac{π}{2}$ 。 $ω =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。最高点到相邻最低点是半个周期： $\frac{T}{2} = \frac{π}{2}$ ， $T = π$ ， $ω = \frac{2 π}{π} = 2$ 。选 C 的同学把 $\frac{π}{2}$ 当成了整个周期。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

下面「动手」① 一打开就是 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$ ：读数写着相对 $y = 2 sin 2 x$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ ，不是 $\frac{π}{3}$ 。

再深一点（可以先跳过）

平衡位置不在 $x$ 轴：最高 $5$ 、最低 $1$ 的波，平衡位置在 $3$ 。写成 $y = A sin (ω x + φ) + B$ ， $A = \frac{5 - 1}{2} = 2$ ， $B = \frac{5 + 1}{2} = 3$ 。 $B$ 只把整条波上下挪，不改振幅和周期。5.7 的实际模型常常这样。

实际模型：用正弦型函数描述潮汐、气温、摩天轮时，要写清时间范围和单位；它是近似，只在给定的范围里好用。

外面直接，里面反着：纵向乘 $A$ ，就是在 $sin$ 外面乘 $A$ ；横向缩成 $\frac{1}{ω}$ ，却是在里面把 $x$ 乘 $ω$ 。向左平移 $a$ ，里面却是 $+ a$ 。凡是改 $x$ 的变换，写进式子都「反着来」。

第 3 步

动手

① 拖三个滑块，看 A、ω、φ 各管什么

先一次只动一个滑块，看它改了什么，再一起动。滑块可以拖，也可以点一下后用方向键调。灰虚线是 $y = sin x$ ，蓝点线是 $y = A sin ω x$ ，绿线是 $y = A sin (ω x + φ)$ ；金色箭头是从 $y = A sin ω x$ 到绿线的平移。

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② 进阶：两条路线，先平移还是先伸缩？

用上面滑块的 $A, ω, φ$ 。选一条路线，点「下一步」一步步变。橙线是这一步的结果，灰虚线是上一步，淡绿粗线是终点。金点追踪相位为零的参照点：当本阶段的振幅与频率为正时，它是上穿零点；最终 A=0 时不表示上穿。看它每一步挪到哪。

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第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

$y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的振幅和最小正周期是？

看答案与解析

答案：A

A。 $A = 3$ ， $ω = 2$ ， $T = \frac{2 π}{2} = π$ 。选 B 是拿 $2 π$ 乘了 $2$ ；选 C 是把最高到最低的距离 $6$ 当成了振幅。

想一想

$y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[0, π]$ 上取到最大值 $1$ 时， $x =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。令相位 $2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ ， $2 x = \frac{5 π}{6}$ ， $x = \frac{5 π}{12}$ ，在 $[0, π]$ 里。选 A 是只解了 $2 x = \frac{π}{2}$ ，丢了 $- \frac{π}{3}$ ；选 C 是忘了除以 $2$ 。

易错

想一想

要得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，应该把 $y = sin 2 x$ 的图象怎样平移？

看答案与解析

答案：B

B。把 $x$ 提出来： $sin (2 x + \frac{π}{3}) = sin 2 (x + \frac{π}{6})$ 。平移只看 $x$ 本身加了多少，这里加了 $\frac{π}{6}$ ，向左移 $\frac{π}{6}$ 。

选 A 是看到括号里 $+ \frac{π}{3}$ 就移 $\frac{π}{3}$ 。真把 $y = sin 2 x$ 向左移 $\frac{π}{3}$ ，得到的是 $sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，多移了一倍。选 C、D 是方向反了。

想一想

$y = 2 sin (2 x + φ)$ ， $∣ φ ∣ < π$ 。它的图象过点 $(0, 1)$ ，并且在 $x = 0$ 附近， $x$ 增大时 $y$ 也增大。 $φ =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。代点只得到 $sin φ = \frac{1}{2}$ ，在 $∣ φ ∣ < π$ 内有 $\frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ 两个解，光代一个点定不下来，还得检验。 $x = 0$ 时相位就是 $φ$ ；要在这里上升，相位得落在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 里，所以只能是 $\frac{π}{6}$ 。 $φ = \frac{5 π}{6}$ 时图象也过 $(0, 1)$ ，但在那里是下降的。

想一想

$y = - 3 sin (\frac{π}{4} - 2 x)$ 的振幅和最小正周期是？

看答案与解析

答案：B

B。振幅是距离、周期是正数，都不会是负的。先规范化： $- 3 sin (\frac{π}{4} - 2 x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，现在 $A = 3 > 0$ ， $ω = 2 > 0$ ，周期 $\frac{2 π}{2} = π$ 。另外，在「动手」① 里把 $ω$ 拖到 $0$ ，函数成了常数，就没有最小正周期了。

例题视频：由相邻峰谷求式

视频题目： $f (x) = A sin (ω x + φ)$ ，其中 $A > 0, ω > 0, ∣ φ ∣ < π /2$ 。图象最高点为 $(π /6, 2)$ ，其右侧相邻最低点为 $(2 π /3, - 2)$ ，求解析式。答案为 $2 sin (2 x + π /6)$ 。

挑战

想一想

$y = sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 后，和原来的图象重合。 $ω$ 最小是？

看答案与解析

答案：B

B。平移后重合，平移量得是周期的整数倍： $\frac{π}{3} = k \cdot \frac{2 π}{ω}$ （ $k$ 是正整数）， $ω = 6 k$ ，最小是 $6$ 。选 A 是以为移半个周期也重合：可 $sin (θ - π) = - sin θ$ ，移半个周期图象上下翻了过来，不重合。

例题视频：两种变换顺序

视频由 $y = sin x$ 变到 $y = sin (2 x - π /3)$ ，目标式含减号，讨论向右平移。先伸缩后的一个代表平移为右移 $π /6$ ；先平移再伸缩时，先右移 $π /3$ 。每一步都核对当前表达式。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2019 天津卷（理科）第 7 题 · 单选

已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0, ω > 0, ∣ φ ∣ < π$ ）是奇函数，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $y = g (x)$ 。若 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且 $g (\frac{π}{4}) = 2$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$

看答案与解析

答案：C

按相位、频率、振幅的顺序确定三个参数；伸长后的函数应写成原函数在x的一半处的值。

由奇函数确定相位

奇函数满足 $f (0) = 0$ ，于是 $A sin φ = 0$ 。因 $A > 0, ∣ φ ∣ < π$ ，只有 $φ = 0$ ，故 $f (x) = A sin ω x$ 。

由新周期确定频率

横坐标伸长后， $g (x) = f (x /2) = A sin (ω x /2)$ ，其最小正周期为 $4 π / ω$ 。由 $4 π / ω = 2 π$ ，得 $ω = 2$ 。

由函数值确定振幅

此时 $g (x) = A sin x$ ，而 $A sin (π /4) = 2$ ，所以 $A = 2$ 。

计算原函数的值

$f (3 π /8) = 2 sin (3 π /4) = 2$ ，选C。

图象变换题先用坐标对应关系写新函数，再逐条使用给定条件。

2026 新高考Ⅰ卷第 13 题 · 填空

已知 $f (x) = 2 sin (a x + θ) (a \in Z, 0 ⩽ θ < 2 π)$ 是偶函数， $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增，则 $θ =$ ＿＿＿＿， $f (\frac{2 π}{3}) =$ ＿＿＿＿。

答案与解析

答案： $\frac{3 π}{2}$ ； $1$

思路

先由偶性确定相位，再看整个给定区间内能否保持递增；正负频率给出同一余弦函数。

由偶性确定相位
严格递增排除 $a = 0$ 。比较 $f (x)$ 与 $f (- x)$ ，得 $cos θ = 0$ ，所以 $θ = π /2$ 或 $3 π /2$ 。函数分别为 $2 cos (a x)$ 或 $- 2 cos (a x)$ 。
由单调性限制频率
记 $n = ∣ a ∣ \geq 1$ 。在 x=0 的右侧， $2 cos (n x)$ 递减，故必须取 $θ = 3 π /2$ 。要使 $- 2 cos (n x)$ 在整个 $(0, π /2)$ 递增，须 $nπ /2 \leq π$ ，因此整数 n 只能为1或2。
计算第二空
n=1 时 $- 2 cos (2 π /3) = 1$ ；n=2 时 $- 2 cos (4 π /3) = 1$ 。所以两空分别为 $3 π /2$ 、1。

易错点

遗漏负整数频率。
只检查某一点递增，未检查整个区间。

小结

参数不唯一时，所求函数值仍可能唯一；要把所有允许情形验完。