5.1 任意角和弧度制

D。$45$ 分钟是 $30$ 分钟的 $1.5$ 倍，转了一圈半：$360^{\circ }+180^{\circ }=540^{\circ }$。

看上面的螺旋轨迹：转 $540^{\circ }$ 时指针停的位置，和只转半圈（$180^{\circ }$）时一样都在正左方；可它实际绕了一圈半，多出来的那一整圈（$360^{\circ }$）不能丢。

初中的角都在 $0^{\circ }$ 到 $360^{\circ }$ 之间，装不下 $540^{\circ }$。这一节把角看成射线转出来的：说清往哪边转、转了多少、停在哪。再换一把用半径量角的尺子——弧度，用它算弧长和扇形面积。

B。1 小时转一整圈 $360^{\circ }$，加 15 分钟的 $90^{\circ }$，共转 $450^{\circ }$；分针是顺时针旋转，形成负角 $-450^{\circ }$。选 A 的同学忘了方向；选 C、D 的同学只看指针最后停的位置，丢掉了整圈！

C。$1290^{\circ }-3\times 360^{\circ }=1290^{\circ }-1080^{\circ }=210^{\circ }$，介于 $180^{\circ }$ 与 $270^{\circ }$ 之间，落在第三象限。

A。$210\times \frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{6}$。比 $\pi$（$180^{\circ }$）稍大，符合直觉。

A。$45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$，$l=4\times \frac{\pi }{4}=\pi$。选 B 的同学直接代入角度 $45$；选 D 忘了乘以半径！

A。$\frac{5\pi }{12}\times \frac{180}{\pi }=\frac{5\times 180}{12}=75$。也可以记 $\frac{\pi }{12}=15^{\circ }$，再乘 $5$。选 D 的同学只算了 $\frac{\pi }{12}$，忘了乘 $5$。

A。已知弧长，用 $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times 3\times 2=3$。也可以先求角：$|\alpha |=\frac{l}{r}=\frac{3}{2}$，$S=\frac{1}{2}\times 2^2\times \frac{3}{2}=3$。选 B 的同学忘了 $\frac{1}{2}$。

答案 C。$390^{\circ }=30^{\circ }+1\times 360^{\circ }$，终边重合；但一个转了一圈多，一个没转满一圈，是两个不同的角。

A 错：$-330^{\circ }$、$390^{\circ }$ 都是第一象限角，都不是锐角。B 错：终边相同的角相差 $360^{\circ }$ 的整数倍，只有 $k=0$ 时才相等。D 错：$-30^{\circ }$、$0^{\circ }$ 都小于 $90^{\circ }$，都不是锐角。

答案 D。$-270^{\circ }=90^{\circ }-360^{\circ }$，和 $90^{\circ }$ 终边相同，终边落在 $y$ 轴的正半轴上。

有的同学想「顺时针转过了第四、第三象限，停在第二象限边上」，于是选 B 或 C。可象限角只看终边停在哪；终边在坐标轴上，就不属于任何象限。在「动手」的图里把角拖到 $-270^{\circ }$ 看看。

答案 D。先化弧度：$|-60^{\circ }|=\frac{\pi }{3}$，再算 $S=\frac{1}{2}\times 2^2\times \frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。

A、B 是把 $60$ 直接当弧度代进去了——$60$ 弧度差不多转了 9 圈半，跟 $60^{\circ }$ 差得远。A、C 还把负号带进了面积。角的正负只说明转的方向，扇形的大小看 $|\alpha |$。

B。设半径 $r$，弧长 $l=8-2r$。面积 $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}(8-2r)r=r(4-r)$。

$r$ 和 $4-r$ 的和是定值 $4$，用基本不等式（2.2）：$r(4-r)\le {\left(\frac{r+4-r}{2}\right)}^2=4$，等号在 $r=4-r$，即 $r=2$ 时取到。这时 $l=4$，圆心角 $|\alpha |=\frac{l}{r}=2$。

选 D 的同学以为半圆最大；半圆时 $r(\pi +2)=8$，$r\approx 1.56$，面积约 $3.8$，比 $4$ 小。