6.1 平面向量的概念

B。只说「$20\text{ km}$」，目标可能在以舰艇为圆心、$20\text{ km}$ 为半径的圆周上的任何一个位置。

在生活和物理中，有很多量像年龄、身高、质量、温度、路程那样，只有一个数值就能完全说清楚；但还有一类非常重要的量——比如位移、速度、力，不仅有大小，还有方向。没有方向，就无法确定物体的位置和运动状态。

数学中，把这种既有大小、又有方向的量叫做向量（Vector）。这一节就来建立平面向量的完整认知。

A。$\overrightarrow{AB}$ 的指令是「右 $2$、上 $1$」；A 从 $(3,3)$ 到 $(5,4)$ 也是「右 $2$、上 $1$」，起点不同照样相等！B 是「左 $2$、下 $1$」（相反向量）；C 模也是 $\sqrt{5}$，但变成「右 $1$、上 $2$」方向不同；D 方向相同但模长翻倍了。

B。$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{0.6^2+(-0.8{)}^2}=\sqrt{0.36+0.64}=1$。A 的模是 $\sqrt{2}$；C 把坐标相加 $0.5+0.5=1$ 误当成了勾股模长；D 是零向量（模为 $0$）。

D。$\overrightarrow{AB}$ 是「右 $2$、上 $1$」。A 是「右 $4$、上 $2$」（同向共线）；B 是「左 $4$、下 $2$」（反向共线）；C 是零向量 $0$，规定与任意向量平行（共线）。只有 D「右 $1$、上 $2$」方向斜率变了，不共线。

A。模就是有向线段的长度，根据勾股定理 $|\mathbf{a}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$。注意模是几何长度，恒为非负实数，不能是负数。

C。平行四边形中，边 $AD$ 与 $BC$ 平行且长度相等；从 $A$ 到 $D$ 与从 $B$ 到 $C$ 方向相同、大小相等，所以 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。

A 项中 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 方向相反（应为 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$）；B 项中 $\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{CO}$ 也是相反向量；D 项中对角线方向不同、模长一般也不相等。

C。向量包含大小和方向两个要素，在数学中向量没有大小关系，绝对不能写 $\mathbf{a}>\mathbf{b}$ 或 $\mathbf{a}<\mathbf{b}$。只有模长作为非负实数才可以比较大小。

B。

• A 错误：零向量没有确定的朝向，本节约定其方向任意；
• B 正确：零向量的模为 $0$；
• C 错误：教材明确规定，零向量与任一向量平行（$0\parallel \mathbf{a}$）；
• D 错误：向量不能比较大小，不能说「单位向量大于零向量」，只能说单位向量的模（$1$）大于零向量的模（$0$）。

C。向量可以自由平移，高中数学中「平行向量」与「共线向量」是同一个概念。平行向量所在的直线可以互相平行，也可以重合，并不要求「必定在同一条直线上」，所以 C 说法错误（是要选的选项）。平移到同一起点后，因为方向相同或相反，起点和两终点三点共线，D 正确。

B。由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 可知，线段 $AB$ 与 $DC$ 平行且长度相等，因此四边形 $ABCD$ 是平行四边形。又已知 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$，说明该平行四边形的一组邻边长度相等。邻边相等的平行四边形必为菱形（若未给出角为直角，不能判定为正方形）。