5.3 诱导公式

B。正对面就是关于中心（原点）对称：往左多远就变成往右多远，往上多高就变成往下多深，两个坐标都变号。

换成角来说：你在 $30^{\circ }$，朋友在 $30^{\circ }+180^{\circ }=210^{\circ }$。单位圆上点的坐标就是 $(\cos ,\sin )$，所以

$\cos 210^{\circ }=-\cos 30^{\circ }$，$\sin 210^{\circ }=-\sin 30^{\circ }$。

这一节会用反射、旋转与整圈终边不变，读出新角的函数值与原角的关系。这样的式子叫诱导公式。

D。$\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$。选 A 的同学漏了第二象限余弦为负；选 C 的同学记混了 $\cos 60^{\circ }$ 与 $\sin 60^{\circ }$。

B。奇变名：$\cos \to \sin$；视 $\alpha$ 为锐角，$\frac{\pi }{2}+\alpha$ 落在第二象限，原函数 $\cos$ 在第二象限为负，取负号得 $-\sin \alpha$。选 A 的同学误看了新函数正弦在第二象限为正！

A。$\sin (-750^{\circ })=-\sin 750^{\circ }=-\sin (30^{\circ }+2\times 360^{\circ })=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$。选 B 的同学第一步丢了正弦吐出的负号！

A。$\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$，由半圈关系 $\tan \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。关于原点对称，$x$、$y$ 同时变号，$\frac{y}{x}$ 不变。选 B 的同学以为加 $\pi$ 都要变号，那是 sin 和 cos；第三象限 tan 是正的。

B。由90°旋转关系 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha =-\frac{1}{4}$，直接代，不用开平方。选 A 是忘了负号；选 C、D 是没换名，去求了 $\cos \alpha$。

A。有同学以为「口诀里把 $\alpha$ 当锐角」，所以 $\alpha$ 是钝角时公式会变号。

不会。$\pi -\alpha$ 和 $\alpha$ 的终边关于 $y$ 轴对称，纵坐标相同，这对任何 $\alpha$ 都对。比如 $\alpha =150^{\circ }$，$\pi -\alpha =30^{\circ }$，两边都是 $\frac{1}{2}$。

「当成锐角」只是用来定公式里的符号的办法，公式本身对所有角成立。可以在「动手」的图里把 $P$ 拖到第二象限亲眼看看。

B。分开判断函数名和符号：

函数名：$\frac{3\pi }{2}$ 是 $\frac{\pi }{2}$ 的 3 倍，奇数倍，sin 变 cos。选 C、D 是没变名。

符号：把 $\alpha$ 当锐角，$\frac{3\pi }{2}-\alpha$ 在第三象限，原函数 sin 在第三象限为负。选 A 是忘了看符号，或者去看了 cos 的符号。

也可以一步步推：$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left(\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$。

C。由半圈关系，$\cos \alpha =\frac{3}{5}$；由补角关系，$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$。

可 $\cos \alpha =\frac{3}{5}>0$ 只说明 $\alpha$ 在第一或第四象限，$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5}$，两种都可能。只写 $\frac{4}{5}$ 是默认了 $\alpha$ 是锐角。

如果题目再加一句「$\alpha$ 是第四象限角」，答案才是 $-\frac{4}{5}$。开平方的正负，一定要由角的范围来定。

B。逐个化：$\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$，$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$，分子是 $\sin \alpha \cos \alpha$。

$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$；$\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha$（例 3），分母是 $-\sin \alpha \cos \alpha$。

「式子有意义」说明分母不为 $0$，即 $\sin \alpha \cos \alpha \ne 0$，才能约分，结果是 $-1$。常见错：$\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)$ 少了负号，得 A。代 $\alpha =30^{\circ }$ 核对：$\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})}=-1$。