5.2 三角函数的概念

A。从座舱向水平线作垂线，得到一个直角三角形：斜边是半径 $10$，$30^{\circ }$ 角的对边是斜边的一半，$5$ 米。约 $8.7$ 米是邻边（水平方向走了多远）。

高度 $÷$ 半径 $=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，正好是 $\sin 30^{\circ }$。

可座舱还会接着转：转过 $150^{\circ }$ 时又比中心高 $5$ 米；转过 $210^{\circ }$ 时在中心下方 $5$ 米，记作 $-5$。这时已经画不出含这个角的直角三角形，但「高度 $÷$ 半径」照样算得出来。这一节就用这个办法，给任意角定义正弦、余弦、正切。

C。$\pi$ 的终边落在 $x$ 轴负半轴，单位圆交点为 $P(-1,0)$，余弦等于横坐标，即 $\cos \pi =-1$。选 A 的同学混淆了横纵坐标（$\sin \pi =0$）。

C。$r=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$，$\sin \alpha =\frac{y}{r}=-\frac{4}{5}$。选 B 是把边长恒正套了上来，忽略了第四象限纵坐标为负！

C。$\tan \alpha >0$ 说明横纵坐标同号（一或三象限）；$\cos \alpha <0$ 说明横坐标为负（二或三象限）。取交集即为第三象限！

A。同除以 $\cos \alpha$ 得 $\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +1}=\frac{6-1}{3+1}=\frac{5}{4}$。

D。$r=\sqrt{25+144}=13$，$\cos \alpha =\frac{x}{r}=-\frac{5}{13}$。A 丢了负号；B 是 $\sin \alpha$；C 是 $\frac{x}{y}$，既不是余弦也不是正切。

B。${\cos }^2\alpha =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$，第二象限余弦为负，$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，$\tan \alpha =\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$。A 忘了余弦的负号；C 把正切算成了 $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$。

C。由 ${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$，开方得 $\pm \frac{4}{5}$。

正弦为正，终边可能在第一象限，也可能在第二象限：在单位圆上就是 $y=\frac{3}{5}$ 这条横线碰到的两个点，一左一右。只写 $\frac{4}{5}$ 丢了一种；说「求不出」也不对，结果只有这两种。题目给了象限（或角的范围），才能定下一个符号。

A。$\frac{3\pi }{2}$ 的终边是 $y$ 轴负半轴，碰到单位圆在 $(0,-1)$：$\sin \alpha =-1$，$\cos \alpha =0$。

B 错：终边在坐标轴上的角不属于任何象限，不能套象限符号表。C 错：$\cos \alpha =0$ 时 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 这个关系本身就不能用，「$-\infty$」不是一个数。D 把横纵坐标弄反了。

B。结论 $\tan \alpha =2$ 是对的，但除法有前提：除数不能为 $0$。

这里正好能用平方关系排除 $\cos \alpha =0$：那样 $\sin \alpha$ 也得是 $0$，两者的平方和就成了 $0$，不是 $1$。写上这一句，推理才完整。C 错：两边相除不会产生正负号，正负号是开平方时才有的。

C。把 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5}$ 和 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 联立：设 $\sin \alpha =s$，则 $\cos \alpha =\frac{1}{5}-s$，代入得 $s^2+{\left(\frac{1}{5}-s\right)}^2=1$，整理成 $25s^2-5s-12=0$，$s=\frac{4}{5}$ 或 $s=-\frac{3}{5}$。

$\alpha \in (0,\pi )$，终边在 $x$ 轴上方，$\sin \alpha >0$，只能 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{4}{3}$。选 B 是没用角的范围去掉 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$、$\cos \alpha =\frac{4}{5}$ 那一组。