5.4 三角函数的图象与性质

B。$10:45$ 比 $10:15$ 晚 $30$ 分钟，正好又转了一整圈，回到同一个位置：最高点。

转一圈回到原处，所以高度每隔 $30$ 分钟就重复一次。把「高度随时间」画出来，是一条一起一伏、不断重复的波浪线。

这一节就讲这种曲线：单位圆上的点转起来，它的纵坐标画出 $y=\sin x$，横坐标画出 $y=\cos x$。从图上读出它们多久重复一次（周期）、哪里上升哪里下降（单调）、最高最低（最值）、左右是否对称。

C。在 $[0,2\pi ]$ 里，最高点 $\frac{\pi }{2}$、最低点 $\frac{3\pi }{2}$：从 $0$ 升到 $\frac{\pi }{2}$，再降到 $\frac{3\pi }{2}$，再升到 $2\pi$。选 A 的同学背了公式里 $k=0$ 那段，可它跑出了 $[0,2\pi ]$；B 是减区间；D 把下降的 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 也算进去了。

A。余弦是偶函数，$\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$。$\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{4}$，都在递减区间 $[0,\pi ]$ 里，所以 $\cos \frac{\pi }{6}>\cos \frac{\pi }{4}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}$）。选 B 的同学看到 $-\frac{\pi }{6}$ 是负的，就以为它的余弦也小；负角的余弦和对应正角一样。

D。$\frac{3\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\pi$，那里 $\cos x=0$，没有定义。选 B 的同学记成了「$k\pi$ 处没定义」；其实 $\tan \pi =\frac{0}{-1}=0$，好好的，要去掉的是 $\frac{\pi }{2}+k\pi$。

A。区间里没有最高点 $\frac{\pi }{2}$、也没有最低点 $-\frac{\pi }{2}$，$\sin x$ 在这一段上递增，值域就是两个端点之间：$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ 到 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。选 C 的同学把 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ 的负号丢了；选 B 是把整条曲线的值域搬了过来。

B。减区间是 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$，$\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 在 $k=0$ 那段里。A 前半段在上升；C 是增区间；D 过了 $\frac{3\pi }{2}$ 又开始上升。

C。区间在 $[0,\pi ]$ 里，余弦递减，最大在左端 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小在右端 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。选 A 的同学把 $\cos \frac{2\pi }{3}$ 算成了正的；B 以为区间里有最高点 $x=0$，其实没有。

B。取 $x_1=\frac{\pi }{4}$、$x_2=\frac{3\pi }{4}$：$x_1<x_2$，可是 $\tan x_1=1$，$\tan x_2=-1$，后面的反而小。增函数要求「任取 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$」，这里不成立。

选 A 的同学看到了每段都上升，却忘了两段之间隔着一条渐近线：过了 $x=\frac{\pi }{2}$，函数值从 $+\infty$ 那边「跳」回 $-\infty$ 那边重新开始。单调区间只能一段一段写。

C。任取一个正数 $T$，对每个 $x$ 都有 $f(x+T)=3=f(x)$，所以任何正数都是它的周期，它当然是周期函数。

可是正数里没有最小的：$1$ 是周期，$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{100}$ 也都是。所以「周期函数一定有最小正周期」是错的。

B。区间里含有最高点 $x=\frac{\pi }{2}$，所以最大值是 $1$，不是端点上的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。最小值看两个端点：$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}<\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，取 $\frac{1}{2}$。

只算端点（A）漏了中间的最高点；直接写 $[-1,1]$（C）是把整条曲线的结论搬到了一个小区间上。

A。最大值要是 $1$：区间得含最高点 $\frac{\pi }{2}$，所以 $a\ge \frac{\pi }{2}$。最小值要是 $0$：$\sin x$ 在 $[0,a]$ 上不能变负，过了 $\pi$ 就是负的，所以 $a\le \pi$。

C 漏了「要能取到 $1$」，$a=\frac{\pi }{3}$ 时值域只有 $\left[0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$；B、D 漏了「不能变负」，$a=\frac{3\pi }{2}$ 时值域已经是 $[-1,1]$。在「动手」②里把区间左端放在 $0$，拖右端试试。