4.5 函数的应用（二）

A。从 $0$ 度以下升到 $0$ 度以上，又是连续变化，不管天气怎么走，中途一定至少经过一次 $0$ 度。

可是几点正好 $0$ 度，光凭这两个数说不出来。那就查中间：要是 $9$ 点是 $1{}^{\circ }\mathrm{C}$，$0$ 度的时刻就在 $6$ 点到 $9$ 点之间；再查 $7$ 点半……每查一次，范围缩小一半。

这一节就讲这两件事：零点存在定理（一定经过 $0$）和二分法（一半一半地找到它）。最后再比一比几类函数谁涨得快。

A。$2^x=8=2^3⟹x=3$。选 B 的同学写成了坐标点，零点是自变量的值（数）；选 C 的同学把 $8÷2$ 当成了指数方程的解。

B。$f(1)=2-3=-1<0$，$f(2)=4-3=1>0$，端点异号。选 C 的同学看到 $3$ 就凭直觉选 $(2,3)$，代入可知 $f(2)=1$ 与 $f(3)=5$ 均为正数。（真实零点为 $x={\log }_{2}3\approx 1.58$）。

B。区间长度迭代：$1\to 0.5\to 0.25\to 0.125\to 0.0625$。第 $3$ 次长度为 $0.125>0.1$ 仍不够；第 $4$ 次 $0.0625<0.1$ 才达标！

B。当 $x=3$ 时 $2^3=8<3^2=9$！实际上在 $(2,4)$ 区间内是二次抛物线压制指数曲线；只有当 $x>4$（充分大）后，指数函数才彻底甩开幂函数。「指数增长最快」是对终极趋势的定性描述！

B。$f(0)=1-5=-4$，$f(1)=3+1-5=-1$，$f(2)=9+2-5=6$。$f(1)<0<f(2)$，异号，零点在 $(1,2)$；$f(x)$ 是增函数，零点只有这一个。选 A 的同学把 $3^0$ 算成了 $0$。

B。$f(1)=-2<0$，$f(2)=1>0$，$f(1.5)<0$。和 $f(1.5)$ 异号的是 $f(2)$，留 $(1.5,2)$。选 A 的同学留了同号的那一半，那一半两端都是负的，零点不在那里（零点是 $\sqrt{3}\approx 1.73$）。

C。$4x^2-8x+3=(2x-1)(2x-3)$，零点是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$，都在 $(0,2)$ 里。中间 $f(1)=-1<0$：图象先下去穿过 $x$ 轴，又上来再穿一次，两端当然又都是正的。

对应边界：端点同号推不出没有零点，定理的条件充分但不必要。

B。定理只保证至少一个零点，所以 C 错，A 多说了。要说唯一，再补一句：$y=2^x$ 和 $y=x-4$ 都是增函数，相加还是增函数，图象最多穿过 $x$ 轴一次。两句合起来，才是「恰有一个」。

对应边界：存在性定理不能直接推出唯一，唯一要靠单调性。

B。精度管的是横坐标离零点多远，这只能由区间长度保证。现在长度 $0.125$，零点可能在区间里任何位置，$1.3125$ 离它最多可能差 $0.0625$。函数值小只说明图象在那里贴着 $x$ 轴，图象很平的话，离零点照样可以很远。

要做到长度 $<0.01$，还得再二分 $4$ 次：$0.125\to 0.0625\to 0.03125\to 0.015625\to 0.0078125$。

对应边界：按区间长度小于 $\epsilon$ 控制误差，不能把函数值小当成误差小。

C。$x=2$、$x=4$ 是两个，容易看到。常见错是只答 $2$，漏了负数那一个。

看 $g(x)=2^x-x^2$ 在 $x<0$ 这一段：$g(-1)=\frac{1}{2}-1<0$，$g(0)=1>0$，由零点存在定理，$(-1,0)$ 内有零点。在 $(-\infty ,0)$ 上 $2^x$ 增、$x^2$ 减，$g(x)$ 是增函数，这一段只有这一个。

$x>0$ 时，「动手」②的图上看：两条曲线只在 $x=2$、$x=4$ 相交，过了 $4$ 以后 $2^x$ 一直在上面。图只画到有限远，「以后一直在上面」可以这样确认：$x=4$ 时两边相等，之后 $x$ 每加 $1$，$2^x$ 翻一倍，而 $x^2$ 变成 ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2\le {\left(\frac{5}{4}\right)}^2\approx 1.56$ 倍，所以 $2^x$ 越拉越开（严格证明要用到选必二的导数）。合起来共 $3$ 个。