8.6 空间直线、平面的垂直

第 1 步

从例子进入

在建筑工地上，工人师傅准备竖立一根垂直于地面的水泥立柱 $l$ 。他拿一把直角尺紧贴地面，发现立柱与地面画出的某一条施工墨线 $m$ 完全成 $9 0^{\circ}$ 直角。先点下面的按钮，看看只垂直一条墨线时立柱会发生什么：

互动演示载入中

想一想

仅凭「立柱与地面上的这一条墨线垂直」，这根立柱就一定垂直于地面吗？

看答案与解析

答案：B

B。不一定垂直！

看上方的实验图：把墨线 $m$ 当作转轴，立柱 $l$ 绕着 $m$ 向左或向右歪倒 $2 5^{\circ}$ 时，它和墨线 $m$ 之间始终保持 $9 0^{\circ}$ 直角，但整根柱子已经明显斜着歪倒了！

要想让立柱稳稳垂直于地面（点上方第 3 个按钮），工人师傅必须在地面上画两条相交的墨线 $m, n$ ，使立柱与这两条相交线都垂直！这种从「线线垂直」迈向「线面垂直」，再到「面面垂直」的严密转化，就是本节要系统掌握的核心思想。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：8.4 空间位置关系、8.5 空间平行、直角三角形与正射影。

互动演示载入中

线面垂直

判定要件：一条直线垂直于平面内两条相交直线（ $l ⊥ a, l ⊥ b, a \cap b = P$ ）。

性质威力：若 $l ⊥ α$ ，则它垂直于该平面内的任意一条直线！

线面角：相交斜线与正射影所成的锐角；含于面内或平行时规定为0°，垂直时为90°，总体范围 $[0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ 。

面面垂直

本质定义：两平面相交所成的二面角为直二面角（平面角为 $9 0^{\circ}$ ）。

性质铁律：在面内必须垂直于交线的直线，才垂直于另一平面！

二面角范围： $[0^{\circ}, 18 0^{\circ}]$ （注意：二面角完全可以为钝角！）。

2. 线面垂直的判定与性质：线线垂直 ⇌ 线面垂直

想一想

自己试试：在上述三棱锥 $P - A B C$ （ $P A ⊥ 底面 A B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ ）中，它的 4 个面 $△ A B C, △ P A B, △ P A C, △ P B C$ 中，直角三角形的个数是：

看答案与解析

答案：D

D。4 个面全都是直角三角形！

① 底面 $△ A B C$ ：已知 $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ ；

② 侧面 $△ P A B$ ： $P A ⊥ 底面 A B C ⟹ P A ⊥ A B$ ， $∠ P A B = 9 0^{\circ}$ ；

③ 侧面 $△ P A C$ ：同理 $P A ⊥ A C$ ， $∠ P A C = 9 0^{\circ}$ ；

④ 侧面 $△ P B C$ ：由例 1 已证 $B C ⊥ P B$ ， $∠ P B C = 9 0^{\circ}$ 。

《九章算术》称这种四个面全为直角三角形的四面体为「鳖臑」（biē nào），是立体几何中最基础、最高频的垂直模型。

3. 线面角：找垂足、连射影、解直角三角形

想一想

自己试试：在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，体对角线 $A_{1} C$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为：

看答案与解析

答案：A

A。体对角线长 $A_{1} C = 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 3$ 。

从 $A_{1}$ 向侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 引垂线，垂足为 $B_{1}$ （ $A_{1} B_{1} ⊥$ 侧面），垂线段长 $A_{1} B_{1} = 1$ 。斜足为 $C$ ，射影为 $B_{1} C$ 。在 $Rt △ A_{1} B_{1} C$ 中，线面角为 $∠ A_{1} C B_{1}$ ，正弦值为：

sin ∠ A_{1} C B_{1} = \frac{A _{1} B _{1}}{A _{1} C} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

选 B 是算成了余弦值；选 D 误把面对角线当成了体对角线。

4. 面面垂直与三步思维链

典型题三步思维链：面面垂直性质导出线面垂直（正交破题）

题目：如图，平面 $P A C ⊥ 平面 A B C$ ， $△ P A C$ 是等边三角形， $D$ 为 $A C$ 的中点，底面 $△ A B C$ 中 $A B = B C$ 。证明：① $P D ⊥ 平面 A B C$ ；② 平面 $P B D ⊥ 平面 P A C$ 。

1

第一眼破题信号： 两平面垂直（ $P A C ⊥ A B C$ ），它们的交线是 $A C$ ！面 $P A C$ 内有等边三角形中点 $D$ ，三线合一必有 $P D ⊥ A C$ 。这是启动面面垂直性质定理的核心触媒。

2

第二步套公式/方法（面面性质推线面）：

① 证 $P D ⊥ 平面 A B C$ ：在面 $P A C$ 内，因为 $△ P A C$ 是等边三角形且 $D$ 为 $A C$ 中点，所以 $P D ⊥ A C$ 。又因为平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，两平面交线为 $A C$ ，且 $P D \subset$ 平面 $P A C$ 。由面面垂直性质定理，直接得出 $P D ⊥ 平面 A B C$ ！

② 证平面 $P B D ⊥ 平面 P A C$ ：底面 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $D$ 是底边 $A C$ 中点，所以 $B D ⊥ A C$ 。由 ① 知 $P D ⊥ 平面 A B C$ ，而 $B D \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $P D ⊥ B D$ ，即 $B D ⊥ P D$ 。因为 $A C \cap P D = D$ ，且 $A C, P D \subset$ 平面 $P A C$ ，由线面垂直判定定理，得 $B D ⊥ 平面 P A C$ ！又 $B D \subset$ 平面 $P B D$ ，由面面垂直判定定理，得 平面 $P B D ⊥ 平面 P A C$ 。

3

第三步必查防坑结论： ① 严禁用「面内任意直线垂直底面」来写证明！面内直线若不垂直于交线，绝不可能垂直底面； ② 要证面面垂直，首选在其中一个面内找一条线垂直于另一平面。

想一想

自己试试：已知平面 $α ⊥ 平面 β$ ， $α \cap β = l$ ，直线 $a \subset α$ 。若要得出 $a ⊥ β$ ，还需要补充的充要条件是：

看答案与解析

答案：D

D。面面垂直的性质定理明确要求：线必须垂直于交线，才能推出线面垂直。选 C 把面面垂直的性质误当成了「面内任意直线都垂直另一平面」，这是极高频的经典误区。

5. 二面角平面角的构造与计算

想一想

自己试试：将边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 向上折起，使平面 $A B C ⊥ 平面 A D C$ （折成直二面角）。折起后线段 $B D$ 的长度为：

看答案与解析

答案：A

A。设对角线交于点 $O$ 。在原正方形中， $B O ⊥ A C$ ， $D O ⊥ A C$ ，且 $B O = D O = 2$ 。折成直二面角后， $∠ B O D = 9 0^{\circ}$ 就是二面角的平面角。在 $Rt △ B O D$ 中： $B D = B O^{2} + D O^{2} = 2 + 2 = 2$ 。

6. 三大翻车现场与反例微图解

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

射影面积公式：若平面多边形面积为 $S$ ，它在平面 $α$ 上的正射影面积为 $S^{'}$ ，多边形所在平面与 $α$ 所成的二面角为 $θ$ （ $0^{\circ} \leq θ < 9 0^{\circ}$ ），则： $S^{'} = S \cdot cos θ$ 。

第 3 步

动手

空间垂直与二面角实验室

切换模块，动态拖动滑块或控制点，观察二面角的旋转开合、平面角结构以及线面射影直角三角形的动态变化：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从基础判定到高频易错辨析，逐题检测空间垂直与角度边界。

直接用

想一想

设 $l$ 是一条直线， $α$ 是一个平面。下列条件中，能够充分判定 $l ⊥ α$ 的是：

看答案与解析

答案：B

B。线面垂直判定定理的核心条件是垂直于平面内的「两条相交直线」。梯形的两底边互相平行，无数条平行线在方向上等价于一条线，直线可绕平行线倾斜而与平面不垂直。只有相交的两条直线才能唯一确定平面方向，从而锁定垂直。

想一想

在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，体对角线 $A_{1} C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值 $tan θ$ 等于：

看答案与解析

答案：A

A。设正方体棱长为 $1$ 。点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的正射影为点 $A$ ，所以斜线 $A_{1} C$ 在底面上的正射影为对角线 $A C$ 。

在直角三角形 $△ A_{1} A C$ 中， $∠ A_{1} A C = 9 0^{\circ}$ ，垂直高 $A_{1} A = 1$ ，射影长 $A C = 1^{2} + 1^{2} = 2$ 。因此线面角的正切值 $tan θ = \frac{A _{1} A}{A C} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ 。

易错

想一想

若平面 $α ⊥ 平面 β$ ，直线 $m \subset α$ ，直线 $n \subset β$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 的位置关系：

看答案与解析

答案：C

C。高频易错！「面面垂直」绝不等于「两个面内的任意两条直线互相垂直」！

反例与分类：设两平面的交线为 $l$ 。

① 若 $m ∥ l$ 且 $n ∥ l$ ，则根据平行公理 $m ∥ n$ （两直线可以互相平行）；

② 若 $m ⊥ l$ 且垂足为 $P$ ， $n$ 经过点 $P$ 且不垂直 $l$ ，则 $m$ 与 $n$ 相交；

③ 若两条线不共面，则是异面直线（可垂直也可斜交）。

只有当面内直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，从而垂直于另一个平面内的任意直线。

想一想

设 $m, n$ 是两条不同的空间直线， $α, β$ 是两个不同的平面。下列命题中真命题是：

看答案与解析

答案：A

A。逐项辨析：

A. 正确：垂直于同一条直线的两个平面互相平行（线面垂直的重要推论）；

B. 错误：必须 $m$ 垂直于两平面的交线，才能推得 $m ⊥ β$ ；

C. 错误：直线 $m$ 可以在 $α$ 内，也可以与 $α$ 平行（ $m ∥ α$ ）；

D. 错误：直线 $n$ 可以在平面 $α$ 内（由 $m ⊥ α$ 知 $m$ 垂直于 $α$ 内任意直线，若 $n \subset α$ 同样有 $m ⊥ n$ ）。

挑战进阶

想一想

在空间四边形 $A B C D$ 中，已知对棱互相垂直，即 $A B ⊥ C D$ 且 $A C ⊥ B D$ 。则另一对对棱 $A D$ 与 $B C$ 的位置关系是：

看答案与解析

答案：B

B。四面体对棱垂直的优美对称性质：若四面体的两对对棱互相垂直，则第三对对棱也必然互相垂直！

几何证明：过点 $A$ 作底面 $B C D$ 的垂线 $A H ⊥ 面 B C D$ ，垂足为 $H$ 。

先处理垂足重合的边界：若H=D，则AD垂直底面BCD，直接有AD⊥BC。若H=B，则AB垂直底面；结合AC⊥BD得BD垂直平面ABC，故BD⊥BC，再结合AB⊥BC可得BC垂直平面ABD，故AD⊥BC。H=C时交换B、C同理。以下讨论H与B、C、D均不同的情形。

由 $A H ⊥ C D$ 且已知 $A B ⊥ C D$ ，可知 $C D ⊥ 面 A B H$ ，从而 $C D ⊥ B H$ （ $H$ 在 $△ B C D$ 边 $C D$ 的高线上）。

同理，由 $A C ⊥ B D$ 可推得 $B D ⊥ C H$ （ $H$ 在边 $B D$ 的高线上）。

因此垂足 $H$ 是底面 $△ B C D$ 的垂心！

由三角形垂心性质，必有连线 $D H ⊥ B C$ 。又 $A H ⊥ B C$ ，所以 $B C ⊥ 面 A D H$ ，最终得到 $A D ⊥ B C$ ！

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2021 新高考Ⅰ卷第 20 题 · 解答

如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点。 (1) 证明： $O A ⊥ C D$ 。

答案与解析

答案：证明见下方分步过程。

思路

用等腰三角形中线找垂线，再用面面垂直的性质把它提升为线面垂直。

先在等腰三角形里找垂直
在 $△ A B D$ 中， $A B = A D$ ， $O$ 为底边 $B D$ 的中点，故 $A O ⊥ B D$ 。
使用面面垂直的性质
两个已知垂直平面 $A B D, B C D$ 的交线是 $B D$ 。 $A O$ 在平面 $A B D$ 内且垂直于交线，因此 $A O ⊥ 平面 B C D$ 。
回到目标直线
$C D \subset 平面 B C D$ 。直线垂直于平面内的每一条直线，故 $O A ⊥ C D$ 。

易错点

从面面垂直不能说其中任意直线都垂直于另一面；须找到垂直交线的那一条。

小结

等腰中线→垂直交线→线面垂直→线线垂直的证明链。

2023 新课标Ⅱ卷第 20 题 · 解答

如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A D B = ∠ A D C = 6 0^{\circ}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点。 (1) 证明： $B C ⊥ D A$ 。

答案与解析

答案：证明见下方分步过程。

思路

先得到两组等腰三角形的中线垂直，再找包含DA的平面。

得到AB与AC相等
$D A = D B$ 且夹角 $∠ A D B = 6 0^{\circ}$ ，故 $△ A D B$ 为等边三角形， $A B = D A$ 。同理 $△ A D C$ 为等边三角形， $A C = D A$ ，于是 $A B = A C$ 。
找出两条与BC垂直的线
在等腰 $△ A B C$ 中， $E$ 为底边 $B C$ 中点，故 $A E ⊥ B C$ 。又因 $D B = D C$ ，同理 $D E ⊥ B C$ 。
先证明线面垂直再收尾
$A E, D E$ 在平面 $A D E$ 内且交于 $E$ ，所以 $B C ⊥ 平面 A D E$ 。 $D A$ 在该面内，得到 $B C ⊥ D A$ 。

易错点

垂直于两条平行线不足以判线面垂直；这里须使用AE与DE相交于E。

小结

通过两条相交的垂线证明线面垂直，再推出空间线线垂直。