8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

B。这两条直线既不相交，也不平行，它们分别处于不同的高度和方向，不同在任何一个平面内，数学上称之为异面直线。

初中的“不相交即平行”有一个至关重要的前提——“在同一平面内”。迈入三维空间，无公共点的两条直线完全可能是异面直线。这一节我们就来系统建立空间点、线、面的位置关系体系，掌握确定平面的四大基本事实。

A。设 $A,B,C$ 在直线 $l$ 上。第四点 $D$ 若不在 $l$ 上，「直线和直线外一点」定一个平面，四点都在里面；若 $D$ 也在 $l$ 上，四点共线，当然也共面。选 C 的同学把它和「四点中任意三点不共线」弄混了，那种情况才可能不共面。

D。在正方体里取 $b=AB$：$a=C{C}_1$、$c=D{D}_1$ 时 $a\parallel c$；$a=C{C}_1$、$c=B_1{C}_1$ 时相交于 $C_1$；$a=C{C}_1$、$c=A_1{D}_1$ 时异面。选 A 的同学把「异面」当成像平行一样能传递，其实只有平行能传递。

C。$A_1{B}_1\parallel AB$，所以所求角就是 $AB$ 与 $B{C}_1$ 的夹角 $\angle AB{C}_1$。设棱长为 $1$，在 $△AB{C}_1$ 中，$AB=1$，$B{C}_1=\sqrt{2}$（面对角线），$A{C}_1=\sqrt{3}$（体对角线），$1^2+(\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2$，由勾股定理的逆定理，$\angle AB{C}_1=90^{\circ }$。

选 B 的同学看到 $B{C}_1$ 是面对角线，就以为和棱成 $45^{\circ }$；可 $45^{\circ }$ 是它和同一面里的棱 $BC$ 的夹角，$AB$ 不在那个面里。

B。正方体共有 12 条棱。与棱 $AB$ 的关系分类如下：

• 与 $AB$ 平行的棱有 3 条：$A_1{B}_1,CD,C_1{D}_1$；
• 与 $AB$ 相交的棱有 4 条：$A{A}_1,B{B}_1,AD,BC$；
• 排除 $AB$ 本身及上述 7 条棱，剩下的 4 条棱与 $AB$ 既不相交也不平行，全部是异面直线，它们是：$C{C}_1,D{D}_1,A_1{D}_1,B_1{C}_1$。

A。由立体几何基本事实 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。该性质在三维空间中依然具有严格的传递性，因此只要 $a\parallel b$ 且 $b\parallel c$，必有 $a\parallel c$。

D。取 $BC$ 的中点 $D$，连结 $PD,AD$。

因为 $△PBC$ 与 $△ABC$ 都是等边三角形，所以中线也是高：$PD\perp BC$ 且 $AD\perp BC$。

因为 $PD\cap AD=D$，所以 $BC\perp$ 平面 $PAD$。

又因为 $PA\subset$ 平面 $PAD$，所以 $BC\perp PA$，即异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角是 $90^{\circ }$（互相异面垂直）。

结论推广：正四面体的任意一组对棱都互相垂直，这是高考的高频几何特征！

C。易错警示：根据等角定理，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补！

当两组对应边方向均相同或均相反时，$\angle B=\angle A=55^{\circ }$；当一组方向相同、另一组方向相反时，$\angle B=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$。未给定图形时必须保留两解，切莫漏掉“互补”！

C。逐项剖析：

• A 错误：基本事实 1 明确要求“不共线的三点”。若三点在同一直线上，经过它们的平面有无数个；
• B 错误：空间中没有公共点的两直线可能是平行直线，也可能是异面直线；
• C 正确：设对角线相交于点 $O$，两对角线是两条相交直线，由基本事实 1 的推论“两条相交直线确定一个平面”，该平面的四个顶点必同在这一平面内；
• D 错误：反例为普通平面凸四边形（如矩形），四个顶点任意三点不共线，但它们完全共面。