8.3 简单几何体的表面积与体积

B。刚好倒满 3 个！无论是圆锥与圆柱，还是棱锥与等底等高的棱柱，锥体体积恒为对应柱体体积的 $\frac{1}{3}$。

南北朝数学家祖冲之父子创立的「祖暅原理」更是揭示了空间体积的核心本质：「幂势既同，则积不容异」。这一节我们就来系统搞懂柱体、锥体、台体和球的表面积与体积计算法则。

B。侧面积必须用母线斜长 $l$，绝不能把垂直高代入！由勾股定理，母线 $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$，代入得 $S_{\text{侧}}=\pi rl=15\pi$。选 A 把垂直高当成了母线；选 C 算成了全面积。

C。等底等高的圆锥与圆柱体积之比为 $1:3$。$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{柱}}=\frac{1}{3}\times 18\pi =6\pi$。选 B 是除以了 2；选 D 是乘了 3。

A。内切球半径 $r=1$；外接球直径 $2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}⟹R=\sqrt{3}$。体积比等于半径比的立方：${\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}^3=3\sqrt{3}$。选 B 是面积比；选 C 是半径比。

C。由球的表面积公式 $S=4\pi R^2=36\pi$，解得 $R^2=9$，因为半径 $R>0$，所以 $R=3$。再代入球的体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi$。

B。上底面积 $S_1=\pi \times 1^2=\pi$，下底面积 $S_2=\pi \times 3^2=9\pi$。代入台体体积公式：

B。组合体表面积是外露在外部的所有面积之和，内部重合贴合的接触面绝不能算入表面积！

外露表面由三部分组成：

① 圆柱下底面：$S_1=\pi r^2=\pi \times 1^2=\pi$；

② 圆柱侧面：$S_2=2\pi rh=2\pi \times 1\times 2=4\pi$；

③ 圆锥侧面：$S_3=\pi rl=\pi \times 1\times 2=2\pi$。

总表面积 $S=S_1+S_2+S_3=\pi +4\pi +2\pi =7\pi$。

易错警示：如果把圆柱全面积 $6\pi$ 与圆锥全面积 $3\pi$ 盲目相加得到 $9\pi$，就多算了贴合在内部的两个接触面。

B。绝不能把展开扇形的母线长误认作圆锥的高！

展开扇形的半径是圆锥的母线长 $l$。半圆面积为 $\frac{1}{2}\pi l^2=8\pi ⟹l^2=16⟹l=4$。

展开扇形的圆心角 $\theta =\pi =2\pi \times \frac{r}{l}⟹\frac{r}{4}=\frac{1}{2}⟹r=2$。

垂直高由勾股定理求得：$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

C。本题考查等底等高锥体体积本质与台体生成规律：

① 原正四棱锥与圆锥等底（底面积均为 $S$）且等高（均为 $h$），体积公式均为 $V=\frac{1}{3}Sh$，两锥体体积相等（两锥在任一等高处的截面面积由相似比可知均为 ${\left(\frac{y}{h}\right)}^{2}S$，处处相等，亦契合祖暅原理）；

② 在高度中点处平行截开，截去的小棱锥和小圆锥与原锥体相似比均为 $1:2$，故截去的小锥体体积均为原体积的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$；

③ 剩余的棱台与圆台体积均为 $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ 原锥体积。因此两台体体积完全相等，且均为原锥体积的 $\frac{7}{8}$。

B。正方体边长为 $a=2$：

① 内切球切于 6 个面中心，其直径等于棱长：$2R_1=a=2⟹R_1=1$；

② 外接球过正方体 8 个顶点，其直径等于正方体的体对角线：$2R_2=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a=2\sqrt{3}⟹R_2=\sqrt{3}$；

③ 表面积之比等于半径比的平方：$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=1:3$；

④ 体积之比等于半径比的立方：$\frac{V_1}{V_2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^3={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^3=1:3\sqrt{3}$。