8.5 空间直线、平面的平行

第 1 步

从例子进入

在宽敞的教室里，抬头看天花板上的日光灯管 $a$ ，低头看脚下的水平地面 $α$ 。灯管所在直线 $a$ 与地面墙角的踢脚线 $b$ 互相平行。先点下面的按钮对比「平行锁定」与「微倾穿地」两种情况：

互动演示载入中

想一想

如果将天花板上与踢脚线平行的灯管直线 $a$ 两端在空间中无限延伸，它会穿过地面或与地面相交吗？

看答案与解析

答案：A

A。永远不会相交！空间中，直线与平面没有公共点，就定义为直线与平面平行。

平面是向四面八方无限延展的，要在整个平面里逐点排查「有没有公共点」几乎不可能。但从上方教室透视图中我们一眼看清了关键机制：天花板上的灯管 $a$ 只要平行于地面内的踢脚线 $b$ ，它离地面的高度就处处锁死相等，整条线被托在地面上方，绝不可能落到地面上！

这就是本节的核心思想：用一条简单的「线线平行」，判定宏大的「线面平行」与「面面平行」。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：8.4 空间位置关系（回看 8.4）；初中平行四边形与三角形中位线。以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为直观模型。

互动演示载入中

线面平行判定

破题抓手：在平面 $α$ 内部找一条基准引路线 $b$ 。

必备三要件：① $a \neq \subset α$ （面外）；② $b \subset α$ （面内）；③ $a ∥ b$ （线线平行）。

结论推导：三者缺一不可，严密导出 $a ∥ α$ 。

线面平行性质

破题抓手：过已知平行线 $a$ 作一个辅助截面 $β$ 截出交线。

必备三要件：① $a ∥ α$ （线面已知平行）；② $a \subset β$ （截面含线）；③ $α \cap β = b$ （截出交线）。

结论推导：严密导出目标交线必与已知线平行： $a ∥ b$ 。

2. 线面平行判定：线线平行 ⇒ 线面平行

想一想

自己试试：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A B, C D$ 的中点。直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：B

B。底面是正方形， $E, F$ 是对边中点，所以 $E F ∥ B C$ ；又 $B C ∥ B_{1} C_{1}$ ，由基本事实 4， $E F ∥ B_{1} C_{1}$ 。

$B_{1} C_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E F \neq \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，由判定定理， $E F ∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 。

选 D 的同学把词用错了：「异面」只说两条直线，直线和平面之间只有在面内、相交、平行三种。

3. 线面性质定理与三步思维链

典型题三步思维链：判定与性质连环扣（求证交线平行）

题目：四棱锥 $P - A B C D$ 底面是平行四边形，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ 。证明： $l ∥ B C$ 。

1

第一眼破题信号： 两相交平面 $P A D$ 与 $P B C$ 交于线 $l$ ，要证交线 $l$ 平行于底边 $B C$ 。底面平行四边形提供先验平行关系： $B C ∥ A D$ ！这是启动线面平行的火种。

2

第二步套公式/方法（判定转性质）：

① 由线线证线面平行：在底面中 $B C ∥ A D$ ，而 $A D \subset$ 平面 $P A D$ ， $B C \neq \subset$ 平面 $P A D$ 。由线面平行判定定理，得 $B C ∥$ 平面 $P A D$ 。

② 锁定辅助截面：已知 $B C ∥$ 平面 $P A D$ ，而 $B C$ 恰好在侧平面 $P B C$ 内，平面 $P B C$ 与平面 $P A D$ 相交于直线 $l$ 。

③ 由线面性质推线线平行：满足性质定理三要件，立即得出交线必平行： $B C ∥ l$ ！

3

第三步必查防坑结论： ① 辅助截面必须同时包含该线 $B C$ 并与目标平面相交； ② 绝不能盲目把 $B C$ 与平面 $P A D$ 内的其它线（如 $P A, P D$ ）当下结论，它们在空间都是异面直线！

想一想

自己试试：长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} ∥$ 平面 $A B C D$ 。过 $A_{1} B_{1}$ 的平面 $A_{1} B_{1} C D$ 与平面 $A B C D$ 相交。由性质定理， $A_{1} B_{1}$ 一定平行于哪条直线？

看答案与解析

答案：A

A。平面 $A_{1} B_{1} C D$ 与平面 $A B C D$ 的公共点是 $C, D$ ，交线就是 $C D$ ，所以 $A_{1} B_{1} ∥ C D$ 。

选 D 是最常见的错：线面平行只保证和面内直线「没有公共点」， $A_{1} B_{1}$ 和 $B C$ 、 $A C$ 都是异面直线，不平行。性质定理只给出那条交线。

4. 面面平行的判定与性质

想一想

自己试试：正方体中，平面 $A_{1} B C_{1}$ 与下底面 $A B C D$ 有公共点 $B$ 。它们的交线平行于哪条直线？

看答案与解析

答案：A

A。上底面 $∥$ 下底面，平面 $A_{1} B C_{1}$ 截上底面得交线 $A_{1} C_{1}$ ，由性质定理，它截下底面的交线（过 $B$ ）平行于 $A_{1} C_{1}$ ；而 $A_{1} C_{1} ∥ A C$ ，所以交线 $∥ A C$ 。

选 D 是忘了基本事实 3：两个不同平面有一个公共点，就有一条过这点的交线。选 C 是只看到了 $B$ 附近的棱， $B C$ 并不在平面 $A_{1} B C_{1}$ 里。

5. 三大翻车现场与反例微图解

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

平行平面的传递性：若 $α ∥ β$ ， $β ∥ γ$ ，则 $α ∥ γ$ 。

平行平面截线段成比例：两条直线被三个互相平行的平面所截，截得的对应线段成比例。证法也是用性质定理把空间问题截到平面里。

第 3 步

动手

① 基础：线面平行判定与「面外」条件可视化

拖动高度滑块或点击切换「面外 / 面内」。观察：当直线 $a$ 移入平面 $α$ 时，虽然仍与同向直线 $b$ 平行，但两者在同一平面内，属于「直线在平面内」，绝不是「线面平行」！

互动演示载入中

② 进阶：面面平行相交条件必要性（为什么两条平行线不行？）

切换「两条相交直线」与「两条平行线」。当只有一组平行线时，拖动倾斜角 $θ$ ，平面 $β$ 可绕交线旋转与底面相交，展示经典反例：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。涵盖直接应用与专题卡中的三条易错红线辨析。

直接用

想一想

在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D, E$ 分别是侧棱 $P A, P B$ 的中点。直线 $D E$ 与底面 $A B C$ 的位置关系是：

看答案与解析

答案：A

A。在 $△ P A B$ 中， $D, E$ 为中点，由三角形中位线定理得 $D E ∥ A B$ 。

因为 $D E \neq \subset$ 平面 $A B C$ ，且 $A B \subset$ 平面 $A B C$ ，由线面平行判定定理，必有 $D E ∥$ 平面 $A B C$ 。选 B 的同学把空间三角形中位线误认为会相交了。

想一想

已知直线 $a ∥$ 平面 $α$ ，经过直线 $a$ 的平面 $β$ 与平面 $α$ 相交于直线 $b$ 。关于直线 $a$ 与直线 $b$ 的位置关系，下列说法正确的是：

看答案与解析

答案：B

B。这是线面平行性质定理的直接应用！

因为 $a ∥ α$ ，所以 $a$ 与平面 $α$ 没有公共点；而交线 $b \subset α$ ，所以 $a$ 与 $b$ 绝无公共点。又因为 $a \subset β$ 且 $b \subset β$ ，两线共面且没有公共点，所以必有 $a ∥ b$ 。

易错

想一想

已知直线 $a$ 、 $b$ 与平面 $α$ 。若 $a ∥ b$ 且 $b \subset α$ ，则直线 $a$ 与平面 $α$ 的位置关系是：

看答案与解析

答案：B

B。高频易错红线：漏掉「平面外」条件！

线面平行判定定理必须满足三个条件： $a \neq \subset α$ 、 $b \subset α$ 、 $a ∥ b$ 。如果题目没有说明 $a \neq \subset α$ ，那么直线 $a$ 完全可能就在平面 $α$ 内（例如在同一平面内画两条平行线 $a ∥ b$ ）。因此 $a$ 可能平行于 $α$ ，也可能在 $α$ 内。选 A 的同学把定理的必要前提 $a \neq \subset α$ 漏掉了！

想一想

设平面 $α$ 内有两条不同的直线 $m, n$ 。若 $m ∥ β$ 且 $n ∥ β$ ，则能判定 $α ∥ β$ 成立的充分条件是：

看答案与解析

答案：B

B。高频易错红线：面面平行判定必须是「两条相交直线」！

若 $m ∥ n$ ，平面 $α$ 可以绕平行线旋转，与平面 $β$ 相交（正如「动手」模块 ② 中的反例）：两条平行线定不住平面，只有当两条直线相交时，平面朝向才被彻底定死，才能保证 $α ∥ β$ 。另外， $m, n$ 都在平面 $α$ 内，不可能异面，C 选项在同一平面内不成立。

想一想

设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面。下列命题中为真命题的是：

看答案与解析

答案：C

C。综合辨析：

A 错误：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面（如天花板上纵横交错的两根灯管都平行于地面，但它们垂直相交或异面）；

B 错误：两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面（如正方体上底面的一条边与下底面垂直方向的一条边，它们异面）；

C 正确：过 $m$ 作一个平面与 $α$ 相交于直线 $a$ ，由线面平行性质定理得 $m ∥ a$ ；因为 $m ∥ β$ 且 $m ∥ a$ ，可得 $a ∥ β$ ；又因为 $a \subset α$ 且 $α \cap β = l$ ，由线面平行性质定理得 $a ∥ l$ ；进而由平行公理得 $m ∥ l$ ；

D 错误：缺少 $m \neq \subset α$ 的前提，直线 $m$ 可以在平面 $α$ 内。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2017 新课标Ⅱ卷（文科）第 18 题 · 解答

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 9 0^{\circ}$ 。 (1) 证明：直线 $B C ∥$ 平面 $P A D$ 。

答案与解析

答案：证明见下方分步过程。

思路

先在底面内找平行线，再核对它是否属于侧面。

在底面得到线线平行
由两个直角， $A B ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ 。 $A D, B C$ 都在底面内，同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故 $B C ∥ A D$ 。
排除直线落在侧面内
底面与侧面 $P A D$ 的交线是 $A D$ 。四边形 $A B C D$ 非退化， $B C \neq = A D$ ，所以 $B C$ 不在平面 $P A D$ 内。
应用线面平行判定
$A D \subset 平面 P A D$ ， $B C ∥ A D$ ，且 $B C$ 不在该平面内，因此 $B C ∥ 平面 P A D$ 。

易错点

“都垂直于同一直线所以平行”只在同一个平面内成立，空间中不能直接照搬。

小结

在同一底面内建立平行，再用目标面中的直线作桥梁。

2026 新高考Ⅰ卷第 15 题 · 解答

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ， $A C = B C$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C_{1}$ 的中点。 (1) 证明： $D E ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 。

答案与解析

答案：证明见下方分步过程。

思路

把两个中点放进同一个三角形，先证明线线平行。

选出包含两个中点的三角形
连接 $B C_{1}$ 。在 $△ A B C_{1}$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C_{1}$ 中点。
用中位线得到平行线
由三角形中位线定理， $D E ∥ B C_{1}$ 。
检查线面平行的三个条件
$B C_{1} \subset 平面 B C C_{1} B_{1}$ 。平面 $A B C_{1}$ 与该侧面交于 $B C_{1}$ ，而 $D E$ 是三角形内部的中位线，不在该侧面内。由线面平行判定， $D E ∥ 平面 B C C_{1} B_{1}$ 。

易错点

两条线平行，并不自动保证一条线平行另一条线所在平面；必须排除直线本身在面内。

小结

通过三角形中位线构造目标平面中的平行线，使用线面平行判定。