8.2 立体图形的直观图

第 1 步

从例子进入

在工程制图或美术素描中，我们要把一个水平放置的正方体纸箱（棱长 $4$ ）画在平面的纸张或黑板上。先点下面的两个按钮，亲眼看看顶面画成「正方形」和画成「 $4 5^{\circ}$ 平行四边形」的视觉差距：

互动演示载入中

想一想

为了让看图的人一眼看出纸箱顶面是水平「平铺躺着」的，纸面上画出来的顶面应该是什么几何形状？

看答案与解析

答案：B

B。如果在纸面上真画成正方形（切到上方按钮 A 看看），整个人看过去就像垂直正上方俯视的平面图，彻底失去了三维纵深与立体感！

为了在二维平面上规范、准确地表达空间图形，数学上采用斜二测画法绘制直观图：横向不变（ $4$ ）、纵向折半（ $4 \div 2 = 2$ ）且倾斜 $4 5^{\circ}$ 。它既能保留平行性和线段比例，又能产生自然的视觉立体感。这一节我们就来彻底弄清它的作图法则与面积变换规律。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：8.1 的柱锥台球（回看 8.1）；初中平面直角坐标系、平行线性质与三角形面积公式。

互动演示载入中

原真实图形

坐标轴： $x$ 轴与 $y$ 轴互相垂直（夹角 $9 0^{\circ}$ ）。

边长与形状：长是长、宽是宽，正方形、矩形有真实垂直对边。

面积基准：真实面积 $S_{原}$ ，多边形底高正交计算。

斜二测直观图

坐标轴： $x^{'}$ 与 $y^{'}$ 夹角变为 $4 5^{\circ}$ 或 $13 5^{\circ}$ 。

尺寸规则：横不变（平行于 $x$ 轴等长）；纵折半（平行于 $y$ 轴长度减半）；竖直 $z$ 轴长度不变。

面积形变： $S_{直观} = \frac{2}{4} S_{原}$ ，视觉面积缩减为约 $0.35$ 倍。

2. 平面图形怎么画：横不变，纵折半

斜二测画法的铁律只有三条：

想一想

自己试试：原图中有一点 $P (6, 4)$ 。画直观图时，从 $O^{'}$ 出发，先沿 $x^{'}$ 轴走多远、再沿 $y^{'}$ 轴方向走多远，才能定出 $P^{'}$ ？

看答案与解析

答案：C

C。横坐标方向不变，走 $6$ ；纵坐标方向折半，走 $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ 。选 A 是忘了折半；选 B 是把两个方向都折半了；选 D 是把面积公式里的 $sin 4 5^{\circ}$ 混进了长度规则。

3. 立体图形画法：先画底面，再立竖高

画立体几何体分两步：先按斜二测画出水平底面，再从关键顶点沿 $z^{'}$ 轴向上作垂线画出空间高（长度真实不变）。看不见的棱画成虚线。

想一想

自己试试：一个正四棱锥，底面边长 $2$ ，高 $3$ 。画直观图时，从底面中心 $O^{'}$ 竖直向上画到顶点 $P^{'}$ ， $O^{'} P^{'}$ 应画多长？

看答案与解析

答案：B

B。高沿竖直的 $z$ 轴，长度不变，画 $3$ 。选 A 是把「纵折半」用到了竖直方向——折半只管原图里平行于 $y$ 轴的线段（底面上「前后」那个方向）。底面画出来是边长 $2$ 和 $1$ 的平行四边形。

4. 面积转换与三步破题思维链

典型题三步思维链：直观图求原平面图形面积与周长

题目：如图，水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个底角为 $4 5^{\circ}$ 的等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $C^{'} D^{'} = 2$ ，腰长 $A^{'} D^{'} = 2$ ，且 $A^{'} B^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $A^{'} D^{'}$ 在 $y^{'}$ 轴上。求原平面图形的面积与周长。

1

第一眼破题信号： 直观图的梯形底在 $x^{'}$ 轴上，腰在 $y^{'}$ 轴上！认准谁平行于 $x$ 轴，谁平行于 $y$ 轴。梯形上下底平行于 $x$ 轴，腰在 $y^{'}$ 轴上说明原图中这条腰与底边真正垂直！

2

第二步套公式/方法（还原与求解）：

① 各边还原：底边 $A B = A^{'} B^{'} = 4$ ， $C D = C^{'} D^{'} = 2$ （平行于 $x$ 轴长度不变）；腰 $A^{'} D^{'} = 2$ 在 $y^{'}$ 轴上，原图形中 $A D ⊥ A B$ ，且长度翻倍： $A D = 2 \times 2 = 22$ 。原图形是一个直角梯形！

② 求原图面积： $S_{原} = \frac{A B + C D}{2} \times A D = \frac{4 + 2}{2} \times 22 = 62$ 。（验算：直观图高 $h^{'} = 2 sin 4 5^{\circ} = 1$ ， $S_{直观} = \frac{4 + 2}{2} \times 1 = 3$ ， $S_{原} = 22 S_{直观} = 62$ ，一致！）

③ 求原图周长：斜腰 $B C$ 在原图中由勾股定理求得：底边投影差 $4 - 2 = 2$ ，高 $22$ ，故 $B C = 2^{2} + (22)^{2} = 4 + 8 = 23$ ！周长 $P = A B + B C + C D + D A = 4 + 23 + 2 + 22 = 6 + 22 + 23$ 。

3

第三步必查防坑结论： ① 面积还原直接用 $S_{原} = 22 S_{直观}$ ，切勿把比例倒过来乘成 $\frac{2}{4}$ ； ② 斜腰 $B^{'} C^{'}$ 绝不能直接乘以 2！因为 $B^{'} C^{'}$ 既不平行于 $x^{'}$ 轴也不平行于 $y^{'}$ 轴，它的长度必须通过端点还原后用勾股定理重新计算。

想一想

自己试试：一个水平放置的多边形，它的斜二测直观图面积是 $2$ 。原多边形面积是？

看答案与解析

答案：B

B。从直观图倒推原图，要放大： $S_{原} = 22 \times 2 = 4$ 。

选 A 是乘成了 $\frac{2}{4}$ ，方向反了（原图反而比直观图小，不对）；选 C 是把 $22$ 本身当成答案，忘了乘 $2$ 。

5. 三大翻车现场与反例微图解

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

$4 5^{\circ}$ 还是 $13 5^{\circ}$ ？两种都可以，画出来的图「朝向」不同，但长度规则一样，面积比也都是 $\frac{2}{4}$ （ $sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ}$ ）。所以直观图不唯一，但从规则倒推原图是确定的。

圆柱、圆锥、圆台、球怎么画？斜二测画法主要用来画多面体。带圆的几何体通常借助模型来画，水平放置的圆一般画成椭圆的样子；圆的精确画法（正等测画法）不作基本要求。

第 3 步

动手

斜二测画法：原图 vs 直观图实时变换投影仪

选择几何多边形并调节底边和高度参数，左右两屏实时对比原图与直观图的几何形态、各边长度、垂直高与面积比：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。紧扣 M2-08-B 教学边界与高频易错点。

直接用

想一想

在利用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列几何性质一定保持不变的是：

看答案与解析

答案：B

B。斜二测画法的几何保真性质：

① 保持不变：平行性（平行线段在直观图中仍然平行）；共线性；平行线段的长度比值保持不变。

② 发生改变：垂直关系通常不再垂直（直角常画成 $4 5^{\circ}$ 或 $13 5^{\circ}$ ）；角的大小普遍改变；不平行于坐标轴的倾斜线段长度不保持。

想一想

已知一个水平放置的矩形，在平面直角坐标系中的长为 $6$ ，宽为 $4$ 。用斜二测画法画出它的直观图，则该直观图的面积为：

看答案与解析

答案：C

C。原矩形面积 $S_{原} = 6 \times 4 = 24$ 。

根据斜二测画法面积变换公式：

S_{直观} = \frac{2}{4} S_{原} = \frac{2}{4} \times 24 = 62

易错

想一想

一个水平放置的三角形，其斜二测直观图是一个底边长为 $4$ 、高为 $2$ 的三角形。则原三角形在原平面直角坐标系中的真实面积为：

看答案与解析

答案：C

C。直观图三角形的面积为：

S_{直观} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4

【逆向还原陷阱】：已知直观图面积求原图真实面积，必须使用逆向放大公式 $S_{原} = 22 S_{直观}$ ，切忌误乘 $\frac{2}{4}$ ！

S_{原} = 22 \times 4 = 82

直观图是压缩后的图形，还原到原图形面积必然更大（ $82 \approx 11.31 > 4$ ）。

想一想

在水平放置的平面图形斜二测直观图中， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 的边 $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上，边 $O^{'} B^{'}$ 在 $y^{'}$ 轴上，且两边在直观图中的长度均量得为 $2$ 。下列推断正确的是：

看答案与解析

答案：B

B。在原平面图形直角坐标系中， $x$ 轴与 $y$ 轴互相垂直，因此 $O A ⊥ O B$ 必定成立。

根据斜二测画法长度规则：

平行于 $x$ 轴的线段长度保持不变，故 $O A = O^{'} A^{'} = 2$ ；
平行于 $y$ 轴的线段在直观图中长度折半，还原到原图中长度必须扩大为 2 倍，故 $O B = 2 \times O^{'} B^{'} = 4$ ！

因此原图形是一个直角边分别为 $2$ 和 $4$ 的直角三角形（不是等腰！面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ ）。

【红线警示】：绝对不能由直观图画成等长就认定原图等长，更不能由直观图的倾斜角臆断原图形的垂直关系！

挑战

想一想

关于立体图形的直观图与斜二测画法，下列说法中不正确的是：

看答案与解析

答案：D

D。D 错误。直观图是倾斜投影，坐标轴上的直角在斜二测直观图中常画成 $4 5^{\circ}$ 或 $13 5^{\circ}$ ，而别的垂直直线在直观图中夹角并不固定；反过来，如果直观图纸面上两条线量出垂直（ $9 0^{\circ}$ ），还原到空间原图形中两直线往往并不垂直！

【专题卡 M2-08-B 教学指引】：不能由直观图上画成直角、等长就认定空间中成立；斜二测画法用于多面体，圆的正等测画法不作基本要求。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2011 浙江卷（文科，旧课标）第 7 题 · 单选

几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）。

看答案与解析

答案：B

先按三视图构造一个相容实体，再用斜二测把底面分区、竖高与坡面端点组织清楚。

把三张投影的信息放在一起

正视图的外框是矩形，说明最高轮廓横向贯穿全宽；其中的实横线还保留了低台前缘。侧视图的上边先斜降再接水平段，可据此尝试用一段坡面和一段平低台构造相容模型。俯视图的横向分界把这两段对应到同一底面上。

按斜二测规则画底面

用符号 $L, d$ 表示底面的横向宽度和前后深度，用 $c$ 表示内部分界离前缘的距离，满足 $0 < c < d$ 。沿水平 $x^{'}$ 方向保留 $L$ ；沿与它成 $4 5^{\circ}$ 的 $y^{'}$ 方向，分别取 $d /2$ 和 $c /2$ ，先定外框与横向分界的端点再连线。原图没有尺寸，不能把分界默认成中线。

竖直方向保持原高，再连坡面

以 $h, H$ 表示低台和最高处的高度， $0 < h < H$ 。先从相应底面点竖直立出原长 $h$ ，再把后缘两端立到原长 $H$ ，连接后缘高点与内部分界的低点，形成贯穿全宽的四边形坡面。竖高不折半；坡面上的斜棱由端点连出，不直接把它们的长度折半。

逐项核实体投影，而不是量原选项的角度

A、C的上部三角结构在横向上收尖，最高轮廓不贯穿全宽，不能给出题中正视图的水平上边。D的上部是阶面，其侧视轮廓会出现竖直落差，不能替代题给的斜降线段。B的全宽坡面与前部低台满足这两项要求。原选项未声明采用斜二测，不能凭画面上的45°或半长关系排除它们。

把候选投回三视图

把构造的B类实体正投影：正面得到满高矩形及低台前缘实横线；侧面得到斜降接水平低段的轮廓；俯视得到矩形及横向分界线。三项均与原图相容，所以原问“可以是”选B。这里只构造了一个相容模型，不声称任意几何体都能由这三张图唯一确定。

斜二测重建先定底面端点，再立真实竖高；选图时把构造的实体投回原来的各视图检查。

2020 全国Ⅱ卷（理科，旧课标）第 7 题 · 单选

右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 $M$ ，在俯视图中对应的点为 $N$ ，则该端点在侧视图中对应的点为（　）。

看答案与解析

答案：A

先把两个投影像还原为同一个实体端点，再从模型左侧观察。底面按横同、纵深减半并沿45°画，竖直高度照正视图搬入；这样能避免把前后位置凭直觉翻反。

按投影读出分层，选一个相容模型

先把正视图从低到高的四层依次记作 $h_{0} < h_{1} < h_{2} < h_{3}$ ，这里只是层次名称，没有新增尺寸。可取一个相容的错层模型：左段从 $h_{1}$ 到 $h_{3}$ ，右段从 $h_{0}$ 到 $h_{2}$ ，按俯视图的前后范围连接。左段底面在 $h_{1}$ ，不能把左段也填到 $h_{0}$ 。三视图不必唯一确定整个实体；这里用模型承载待定位的同一端点。

横同、纵半45°画底面，先定底点

按俯视图的矩形与内部左右分界线画底面框架：同一作图比例下，横向对应长度不缩短；纵深沿45°方向画，长度缩为原来的一半。正视在上、俯视在下的布局中，俯视图上边对应实体后沿，因此 $N$ 位于内部左右分界线的后端。在斜二测底面框架上标出这一底点，记为 $P_{0}$ 。不把图上分界线擅自说成中线，也不补设长宽相等。

竖高不变，由M抬出真实端点P

正视 $M$ 给出端点在左右分界处、且高度为 $h_{2}$ 。从刚定出的 $P_{0}$ 沿竖直方向照搬这一高度，得到真实端点 $P$ 。现在 $P$ 同时具有 $M$ 指定的左右位置与高度，以及 $N$ 指定的后沿位置。 $M, N$ 是同一点在两幅投影中的像，不能把它们当成两个实体点直接连线。

从模型左侧回投，辨清前后方向

按高中三视图的常用侧视约定，从实体左边向右看。此时后沿投到侧图左边，前沿投到右边。构造出的 $P$ 在后沿、高度为 $h_{2}$ ，因此回投到侧图的上排左点 $E$ 。从左观察时，右段在 $h_{2}$ 的上凹棱被左段遮挡，对应原图上横虚线 $E F$ ；左段的较低外沿对应下横实线 $G H$ ，与所用模型一致。故选A。

三视图与直观图之间要按同一位置读数逐点对应。先用俯视定底点，再用正视定竖高，最后转到指定观察方向检查前后。