8.1 基本立体图形

B。仅有两个面平行且其余面是四边形，并不足以构成棱柱！

反例：看图中间的② 四棱台灯罩（上下底平行，四个侧面全是梯形四边形，但四条侧棱向上延长后交于同一点 $S$）和右边的③ 扭曲侧面多面体，它们都满足「两底平行且侧面为四边形」，但因为侧棱不互相平行，都不是棱柱！

立体几何的分类不能只凭粗看，必须从底面形态、侧面结构与侧棱平行性等严格几何条件来界定。这一节我们就来系统建立基本立体图形的识别框架。

C。六棱柱有 2 个底面加 6 个侧面，共 $2+6=8$ 个面；每个底面有 6 个顶点，两底共 $6\times 2=12$ 个顶点；连结上下对应顶点的侧棱恰有 6 条。故 $F=8,V=12$，侧棱数 6。

B。圆锥轴截面是底边为直径 $2r=6$、高为 $h=4$ 的等腰三角形。面积 $S=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$。选 A 的同学误把底边当作了半径；选 C 的同学误把高用成了母线长 $5$。

C。五棱柱一共有 $2+5=7$ 个面。一个平面去截多面体，最多能与全部 7 个面都相交，所以截面多边形的边数最多为 7。选 A 误以为只能截 5 条侧棱；选 D 误把棱数当成了面数上限。

B。圆台的两底面是互相平行的圆面，侧面是曲面。直角梯形中垂直于底边的腰与两底垂直，以这条腰为轴旋转，两底生成平行的两个圆面，斜腰旋转生成圆台侧面。

C。六棱柱有 8 个面、18 条棱；六棱锥有 7 个面、12 条棱（侧面全为三角形）；四棱柱有 6 个面（全为四边形）、12 条棱、8 个顶点（欧拉示性数 $V-E+F=8-12+6=2$）。

B。棱台是由平行于棱锥底面的平面截割棱锥所得，因此所有侧棱延长线必然恢复交汇于原棱锥顶点；A 的条件不足：取同中心、边分别平行的水平矩形，下底为 $4\times 2$，上底为 $2\times 1.5$。对应边连接后四侧面都是梯形，但两底长、宽的缩放比分别为 $1/2$、$3/4$，并非相似截面，所以不是棱台。C 中一般棱台的侧面面积不保证相等；正棱台可保证各侧面全等，但这不是必要条件。D 中真正的棱台由平行截面截割棱锥得到，两底面积不相等。

A。平面与正方体的每个面相交至多产生一条交线（一条边）。正方体总共只有 6 个面，截面与每个面最多相交一次，所以边数至多为 6（正六边形）。不可能截出七边形或八边形。

D。正八面体有 8 个全等的正三角形面；每个顶点汇集 4 条棱，共 6 个顶点（上下各 1 个，赤道中间 4 个）；赤道底面 4 条边，上下各有 4 条侧棱，共 $4+4+4=12$ 条棱。满足欧拉公式 $V-E+F=6-12+8=2$。