7.3 复数的三角表示（选学）

第 1 步

从例子进入

在数轴上，把一个数乘以 $- 1$ ，相当于把这个点绕原点逆时针旋转了 $18 0^{\circ}$ （半圈）。如果乘以虚数单位 $i$ ，连续乘两次 $i$ 的结果是乘以 $- 1$ 。猜一猜：乘一次 $i$ 会怎样？由 $(a + bi) i = - b + ai$ ，点 $(a, b)$ 变为 $(- b, a)$ ，这正是逆时针转 $9 0^{\circ}$ 。下面再用三角形式解释这个结论。

如果从正实轴上的点 $(1, 0)$ 出发，绕原点逆时针旋转 $4 5^{\circ}$ （长度保持为 $1$ ），它落在了第一象限的角平分线上。这个点在复平面上对应的复数是多少？

互动演示载入中

想一想

入门题：把复平面上对应实数 $1$ 的单位向量绕原点逆时针旋转 $4 5^{\circ}$ ，终点对应的复数是？

看答案与解析

答案：B

B。根据直角三角形与三角函数定义：向量长度 $r = 1$ ，横坐标为 $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ，纵坐标为 $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ 。所以对应的复数是 $\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i$ 。

用代数形式 $a + bi$ 看起来，这一堆根号并不直观；但如果用「长度为 $1$ 、方向角为 $4 5^{\circ}$ 」来看，位置一目了然！这一节我们就来学习复数的三角表示：用距离和方向角描述复数，让几何旋转变成乘除运算。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：复数的代数形式、复平面和模（回看 7.1）；复数的乘除（回看 7.2）；任意角的三角函数（回看 5.2）；两角和与差的公式（回看 5.5）。

互动演示载入中

直角形式 ①

代数形式 a + bi：适合线性加减

直角坐标体系：实部虚部分开，可以逐项加减，也可用分配律、共轭或先算低次幂完成乘除与乘方；根据题目选择便于计算的表示。

极坐标形式 ②

三角形式 r(cosθ + i sinθ)：便于分析乘除与旋转

旋转与缩放：非零复数化为向径 $r = ∣ z ∣ > 0$ 与辐角 $θ$ 。乘法化为「模相乘、角相加」，除法「模相除、角相减」，正整数次幂可用棣莫弗公式；涉及辐角的法则要求有关复数非零。

2. 核心公式与运算法则

为什么乘法会“模乘、角加”？

设 $z_{j} = r_{j} (cos θ_{j} + i sin θ_{j})$ ， $r_{j} > 0$ 。用分配律和 $i^{2} = - 1$ 展开：

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [(cos θ_{1} cos θ_{2} - sin θ_{1} sin θ_{2}) + i (sin θ_{1} cos θ_{2} + cos θ_{1} sin θ_{2})]$ 。

两角和公式把两组括号分别化为 $cos (θ_{1} + θ_{2})$ 与 $sin (θ_{1} + θ_{2})$ ，就得到乘法法则。除以非零复数等于乘它的倒数，倒数的模为 $1/ r_{2}$ 、辐角可取 $- θ_{2}$ ；正整数次幂则由重复相乘得到。

想一想

自己试试：把 $z = 1 - i$ 化为标准三角形式，模和辐角主值是？

看答案与解析

答案：A

A。模 $r = 1^{2} + (- 1)^{2} = 2$ ； $cos θ = \frac{2}{2}$ ， $sin θ = - \frac{2}{2}$ ，点 $(1, - 1)$ 在第四象限，主值是 $\frac{7 π}{4}$ 。

B 的表达式等于原复数，但所报的正角 $π /4$ 不是它的辐角主值；C 的模忘了开方；D 的表达式也等于原复数，但外面的负系数不是模，所报的 $r$ 不符合要求。

例题视频的完整问题

① 将 $- 3 + i$ 化为三角形式；② 将 $2 (cos (4 π /3) + i sin (4 π /3))$ 化为代数形式。视频随后另外比较 $2 (cos (π /3) - i sin (π /3))$ ，后者是改变条件的对比题。

想一想

自己试试：已知 $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ ， $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ ，则 $z_{1} z_{2}$ 等于？

看答案与解析

答案：A

A。模相乘： $2 \times 3 = 6$ ；角相加： $\frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 。

所以 $z_{1} z_{2} = 6 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 6 (0 + i) = 6 i$ 。选 C 的同学模相加了；选 D 的同学角算成了相减。

3. 典型例题：三步思维链精讲

例 3（选学综合·高次幂与复数除法）

已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = 1 + i$ 。 ① 将 $z_{1}$ 化为三角形式，并求 $z_{1}^{6}$ 的值； ② 计算 $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ 的模与辐角主值。

第一眼·破题信号

看到高次幂 $z_{1}^{6}$ 以及复数除法求角 → 可以选用三角形式，把模的乘方与辐角的累加分开计算；也可以寻找便于验算的代数分组！

第二步·套公式拆解

① 化三角形式： $r_{1} = (3)^{2} + 1^{2} = 2$ ， $cos θ_{1} = \frac{3}{2}, sin θ_{1} = \frac{1}{2}$ （第Ⅰ象限） $⟹ θ_{1} = \frac{π}{6}$ ；故 $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ ；由棣莫弗公式： $z_{1}^{6} = 2^{6} [cos (6 \times \frac{π}{6}) + i sin (6 \times \frac{π}{6})] = 64 (cos π + i sin π) = 64 (- 1 + 0) =$ $- 64$ ！ ② 计算商 $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ： $z_{2} = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ ；模相除： $r = \frac{2}{2} = 2$ ；辐角相减： $θ = \frac{π}{6} - \frac{π}{4} = - \frac{π}{12}$ ；负角加 $2 π$ 化为主值： $- \frac{π}{12} + 2 π = \frac{23 π}{12}$ 。

第三步·必查防坑点

① 象限核查： $θ_{1}$ 必须由点 $(3, 1)$ 所在象限确认，不能只算正切； ② 棣莫弗指数不仅作用在角上（乘 6），模长也必须求 6 次方（ $2^{6} = 64$ ）； ③ 按本课约定，辐角主值落在 $[0, 2 π)$ 内，本例的负角加 $2 π$ 得到本课主值；一般辐角可能需要加减整数倍 $2 π$ 。

独立验算： $(3 + i)^{2} = 2 + 23 i$ ，再乘 $3 + i$ 得 $z_{1}^{3} = 8 i$ ，所以 $z_{1}^{6} = (8 i)^{2} = - 64$ 。商也可写成 $\frac{( 3 + i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{3 + 1}{2} + \frac{1 - 3}{2} i$ 。两种表示可以相互核对。

想一想

自己试试： $z_{1} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ ， $z_{2} = 6 (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6})$ 。 $\frac{z _{1}}{z _{2}} =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。模 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ；辐角 $\frac{π}{3} - \frac{5 π}{6} = - \frac{π}{2}$ ，所以商 $= \frac{1}{2} (0 - i) = - \frac{1}{2} i$ 。选 B 算反了角；选 C 模除反了。

综合视频的完整问题与示意图约定

已知 $z_{1} = 3 + i$ 、 $z_{2} = 1 + i$ ：① 化 $z_{1}$ 为三角形式并求 $z_{1}^{6}$ ；② 求 $z_{1} / z_{2}$ 的模与本课辐角主值。高次幂段的无坐标轴图仅示方向、箭头长度归一，实际模依次为 $2, 4, 8, 64$ 。视频最后把分子改为零，作为另一个边界问题。

4. 这三种情况最容易翻车

再深一点（可以先跳过）

方程 $z^{n} = 1$ 的根（ $n$ 为正整数）：模为 1、辐角为 $\frac{2 k π}{n}$ （ $k = 0, 1, \dots, n - 1$ ）的 $n$ 个根，当 $n \geq 3$ 时正好是单位圆内接正 $n$ 边形的顶点。 $n = 1$ 时只有点 $1$ ， $n = 2$ 时为一条直径的两个端点 $\pm 1$ 。这里辐角的多值性至关重要。

大学延伸：欧拉公式：大学数学中 $cos θ + i sin θ = e^{i θ}$ ，从而「模相乘、角相加」正是指数运算法则 $e^{i θ_{1}} \cdot e^{i θ_{2}} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ 。本课只用分配律和两角和差公式推导复数乘除法，不依赖复指数；欧拉公式留待后续学习。

第 3 步

动手

① 极坐标与代数形式：拖动手柄改变模长与辐角

虚线同心圆代表模长 $r = 1, 2, 3$ ，射线代表典型辐角。在复平面上拖动圆点 $Z$ （或选中后用方向键微调），也可以调节下方的滑块。观察三角形式与代数形式的实时对应，特别注意把 $r$ 调为 $0$ 时的变化。

互动演示载入中

② 进阶：复数乘法的几何意义——旋转与拉伸

固定基础复数 $z_{1} = 1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ （金色）。调节乘数 $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ （黛蓝），观察乘积 $w = z_{1} z_{2}$ （松绿）在复平面上的变换。点击预设按钮感受经典几何变换！

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间两道考察专题卡边界与易错点，最后一道是综合挑战。

直接用

想一想

复数 $z = 4 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})$ 的代数形式 $a + bi$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。计算特殊角三角函数值： $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ 。

展开可得： $z = 4 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 2 + 23 i$ 。

想一想

已知 $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ ， $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ ，则 $z_{1} z_{2}$ 等于？

看答案与解析

答案：B

B。应用复数乘法的三角法则：模相乘、辐角相加。

模长为 $2 \times 3 = 6$ ；辐角为 $\frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ 。

所以 $z_{1} z_{2} = 6 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 6 (0 + i) = 6 i$ 。

选 C 的同学错把模长相加了；选 D 的同学把辐角相减了（ $\frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$ ），乘法要相加。

易错

想一想

下列各式中，哪一个按所写形式即可直接读出正的模与同一个辐角，无需先改写？

看答案与解析

答案：D

D。直接读模与角的标准结构满足：模 $r > 0$ ；中间必须是加号；前余弦、后正弦；两处角完全一致。

A 外面的系数为 $- 2$ ，不是模；这个复数的实际模是 $2$ ，需把负号并入角后再按标准形式读数；

B 可用余弦的偶性、正弦的奇性改写成角 $- π /4$ 的标准形式，但不能把所写的正角直接读成辐角；

C 中的两个角不相同，不能直接把外面的 $2$ 当成模；

D 完全符合标准结构（它对应的正是点 $(2, - 2)$ 在第四象限的三角形式）。

想一想

关于复数 $z = 0$ 的模与辐角，下列说法正确的是？

看答案与解析

答案：B

B。复数 $0$ 在复平面上对应原点 $O$ 。到原点的距离（模）确定且等于 $0$ ；但从原点出发不能确定一条射线的方向，因此零复数没有辐角，也没有辐角主值。

虽然 $0 (cos θ + i sin θ) = 0$ 对任意角成立，它不赋予零一个方向。除数必须非零，源于零没有乘法逆元；若分子为零、除数非零，商为零，模为零而没有辐角。

挑战

想一想

复数 $z_{1} = 1 + 3 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ 。计算商 $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ 的模与辐角主值是？

看答案与解析

答案：A

A。化为三角形式：

$z_{1} = 1 + 3 i = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ ，模 $r_{1} = 2$ ， $ar g z_{1} = \frac{π}{3}$ ；

$z_{2} = 1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ ，模 $r_{2} = 2$ ， $ar g z_{2} = \frac{π}{4}$ 。

根据除法法则（模相除、角相减）：

模长为 $\frac{r _{1}}{r _{2}} = \frac{2}{2} = 2$ ；辐角为 $\frac{π}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{12}$ 。

所以 $\frac{z _{1}}{z _{2}} = 2 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})$ 。也可用共轭把分母实数化，得到 $\frac{1 + 3}{2} + \frac{3 - 1}{2} i$ ，再核对它的模与象限。

第 5 步

高考真题

本节为选学内容。下列已收录真题用三角表示再解一次，也可用代数方法验算；在这里练习不表示三角表示成为必考要求。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2008 全国Ⅱ卷（理科）第 2 题 · 单选

设 $a, b \in R$ 且 $b \neq = 0$ ，若复数 $(a + bi)^{3}$ 是实数，则（　）。

看答案与解析

答案：A

把复数写成模与辐角的形式，立方后落到实轴，原辐角只能位于六条等分射线；再排除虚部为0的两条。

建立三角表示

因为 $b \neq = 0$ ，复数 $z = a + bi$ 不为0。令 $r = ∣ z ∣ > 0$ ，取 $0 \leq θ < 2 π$ ，写成 $z = r (cos θ + i sin θ)$ ，其中 $a = r cos θ$ 、 $b = r sin θ$ 。

利用立方后的辐角

$z^{3} = r^{3} (cos 3 θ + i sin 3 θ)$ 。它为实数，所以 $sin 3 θ = 0$ ，即 $3 θ = k π$ 。在所选辐角范围中， $θ$ 为 $0, π /3, 2 π /3, π, 4 π /3, 5 π /3$ 之一。

排除实轴并求关系

条件 $b \neq = 0$ 排除 $θ = 0, π$ 。其余四个角均满足 $sin^{2} θ = 3/4$ 、 $cos^{2} θ = 1/4$ 。因此 $b^{2} = r^{2} sin^{2} θ = 3 r^{2} cos^{2} θ = 3 a^{2}$ ，选A。

复数的幂落在指定射线上时，可以将条件转成辐角的整倍数关系；几何分支须结合原题条件排除。

2015 湖北卷（理科）第 1 题 · 单选

$i$ 为虚数单位， $i^{607}$ 的共轭复数为（　）。

看答案与解析

答案：A

把i看成单位圆上辐角π/2的点，乘方对应辐角乘以607，共轭再把辐角变号。

写出三角表示

$i = cos (π /2) + i sin (π /2)$ ，模为1，辐角可取 $π /2$ 。

乘方并约化辐角

由复数三角形式的乘方规律， $i^{607} = cos (607 π /2) + i sin (607 π /2)$ 。因为 $607 π /2 = 151 \cdot 2 π + 3 π /2$ ，所以 $i^{607} = cos (3 π /2) + i sin (3 π /2) = - i$ 。

作共轭反射

共轭使辐角变号： $i^{607} = cos (- 3 π /2) + i sin (- 3 π /2) = i$ 。因此选A。

高次幂用辐角模2π化简；共轭保持模不变，并把辐角关于实轴反射。