7.5 正态分布

C。$498\sim 500$ 有 $34$ 袋，$500\sim 502$ 有 $34$ 袋，合起来 $68$ 袋，频率 $0.68$，用它估计概率约 $68\%$。

再看整张表：中间多、两边少，左右差不多对称。画成直方图就是一个「钟」。袋数再多、分组再细，直方图的上沿会越来越像一条光滑的钟形曲线。

这一节就讲这条曲线——正态曲线：落在某一段的概率，就是这一段曲线下面的面积。那个 $68\%$ 也不是巧合，后面会看到。

B。括号里第二个数是方差 ${\sigma }^2=9$，标准差 $\sigma =\sqrt{9}=3$。选 A 是把方差当成了标准差，这是最常见的错；$10$ 是均值。

B。$-1$ 和 $3$ 关于 $x=1$ 对称，$P(X>3)=0.2$；$P(-1<X<3)=1-0.4=0.6$；$1$ 到 $3$ 是它的一半，$0.3$。选 C 的同学停在了 $0.6$，忘了只要右半边。

A。$\sigma =\sqrt{25}=5$，$85=\mu +\sigma$。$\mu \pm \sigma$ 外面一共约 $1-0.6827=0.3173$，右边一半约 $0.1587$。选 B 忘了除以 $2$；选 D 是错用了 $2\sigma$ 那一行。

B。左边 $x<1$ 的尾巴和右边 $x>5$ 的尾巴一样大，说明 $1$ 和 $5$ 关于对称轴 $x=\mu$ 对称，$\mu =\frac{1+5}{2}=3$。选 D 是把 $1+5$ 忘了除以 $2$。

A。$\sigma =10$，$120=\mu +2\sigma$。$\mu \pm 2\sigma$ 外约 $1-0.9545=0.0455$，右边一半约 $0.0228$，$1000\times 0.0228\approx 23$。选 B 没除以 $2$；选 C 用的是 $\mu +\sigma$ 那一行；选 D 用的是 $3\sigma$。

C。概率是面积，不是高度。$1.99$ 比 $1$ 还大，本来就不可能是概率。「$X=0$」只是一个点，没有宽度，面积为 $0$。

B 是 $P(X\le 0)$，D 是 $P(-0.2\le X\le 0.2)$，都是一段，不是一个点。

B。用正态之前先问：是题目给的，还是数据支持的假设？这张图左右不对称，正态的「关于均值对称」不成立。少数很高的收入会把平均数往上拉，低于平均数的人往往超过一半。

C 也错：样本再多，也只是把原来的形状看得更清楚，歪的还是歪的。

B。$\mu \pm 3\sigma$ 外的概率约 $0.0027$，很小但不是 $0$：正常机器做 $10000$ 个，平均也有二三十个落在外面。「几乎不可能」不等于「绝不发生」，一次异常是警报，不是证明。可以在「动手」②增加样本或换一批观察；有限一批也可能没有红点。

A。$\sigma =50$：$950=\mu -\sigma$，$1100=\mu +2\sigma$，左右不一样宽，以 $\mu =1000$ 为界拆成两块：

左块 $950\sim 1000$ 是 $\mu \pm \sigma$ 的一半，约 $0.6827÷2=0.34135$；右块 $1000\sim 1100$ 是 $\mu \pm 2\sigma$ 的一半，约 $0.9545÷2=0.47725$。合计约 $0.8186$。

B、C 只用了一边的数；D 是 $P(X<1050)\approx 0.5+0.34135$，区间看错了。