7.4 二项分布与超几何分布

B。把结果全列出来：正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正反、反反正、反反反，共 $8$ 种，一样可能。恰好 $2$ 次正面的是「正正反、正反正、反正正」$3$ 种，概率 $\frac{3}{8}$。

换个看法：每一种排法的概率都是 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$；「$2$ 次正面」放在 $3$ 次里的哪两次，有 $C_3^2=3$ 种选法。所以 $P=C_3^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。

这一节就把它推广：做 $n$ 次、每次成功的概率是 $p$，成功 $k$ 次的概率是多少（二项分布）；如果换成「从袋子里摸了不放回」，又该怎么算（超几何分布）。

C。$X\sim B\left(3,\frac{1}{6}\right)$，$P(X=1)=C_3^1\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2=3\times \frac{25}{216}=\frac{25}{72}$。选 B 的同学只算了一种排法「第 $1$ 次是 $6$、后两次不是」，漏乘了 $C_3^1=3$：那个 $6$ 点可以出现在第 $1$、$2$、$3$ 次。

B。数的是不合格的，「成功」就是「不合格」，$p=0.1$，$Y\sim B(10,0.1)$。$E=10\times 0.1=1$，$D=10\times 0.1\times 0.9=0.9$。选 A 的同学把 $0.9$ 当成了 $p$，算出的是合格个数的均值；选 C 的同学漏乘了 $n$。

C。女生只有 $2$ 名，选 $4$ 人至少有 $2$ 名男生：$\max (0,4-7+5)=2$；最多 $\min (4,5)=4$。选 A 的同学忘了女生不够；选 D 的同学忘了一共只选 $4$ 人。

B。猜对道数 $X\sim B\left(5,\frac{1}{2}\right)$，$P(X=4)=C_5^4{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{32}$。选 A 的同学漏乘了 $C_5^4=5$（只算了一种对错排法）；$\frac{4}{5}$ 是把「$5$ 道里对 $4$ 道」当成了概率。

A。$E=np=20\times 0.3=6$，$D=np(1-p)=6\times 0.7=4.2$。选 B 的同学乘成了 $np\cdot p$；选 C 的同学用了 $1-p$ 算均值；D 把方差也写成了 $np$。

B。不放回，$X$ 服从超几何分布：$P(X=2)=\frac{C_2^2{C}_4^1}{C_6^3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。

选 A 的同学当成了 $B\left(3,\frac{1}{3}\right)$：$C_3^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$。可是取走一个次品后，下一次取到次品的概率就变了，各次也不独立，二项分布的条件不满足。

B。不放回抽取，准确的模型是超几何分布。总体比样本大得多时，抽走几件几乎不改变次品比例，所以二项分布是很好的近似，但两者并不相等（比如 $P(X=0)$：超几何约 $0.77374$，二项 $0.95^5\approx 0.77378$）。A 把近似说成了相等；C 太绝对，近似计算是允许的，只要说明是近似，理由是本题抽样比 $5/10000=0.0005$ 很小，并核查所需精度。

顺带一提：两种模型的均值都是 $5\times 0.05=0.25$，一样。

B。投满 $3$ 次，只要求前两次都没中（第 $3$ 次中不中都停），$P(X=3)=0.4\times 0.4=0.16$。

投篮次数不是固定的 $n$，$X$ 也不是「成功次数」，不服从二项分布。选 A 的同学套了 $C_3^3\cdot 0.6^3$；选 C 的同学要求第 $3$ 次一定投中（$0.4^2\times 0.6$），那是「第 $3$ 次才投中」，比「投了 $3$ 次」少了第 $3$ 次也没中的情况；D 是三次都不中。

B。直接分情况：甲 $2:0$ 胜，$0.6^2=0.36$；甲 $2:1$ 胜，前两局一胜一负、第三局胜，$C_2^1\cdot 0.6\cdot 0.4\cdot 0.6=0.288$。合计 $0.648$。

另一种想法（见「再深一点」）：设想总是打满 $3$ 局，补打不改变谁先赢 $2$ 局，所以甲胜 $⟺$ 打满 $3$ 局时甲至少胜 $2$ 局：$C_3^2\cdot 0.6^2\cdot 0.4+0.6^3=0.432+0.216=0.648$。选 C 的同学只算了「恰好胜 $2$ 局」，漏了 $3$ 局全胜；选 A 的只算了 $2:0$。