8.1 成对数据的统计相关性

我国2008—2014年生活垃圾无害化处理量 $y$（单位：亿吨）的折线图近似呈线性上升趋势，年份代码 $t=1,2,\dots ,7$ 分别对应2008—2014年。题给参考数据为 ${\sum }_{i=1}^7{y}_i=9.32$，${\sum }_{i=1}^7{t}_i{y}_i=40.17$，$\sqrt{{\sum }_{i=1}^7(y_i-\bar{y}{)}^2}=0.55$，$\sqrt{7}\approx 2.646$。 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明。附：$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$。

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。一天内按抽取次序1—16得到的数据依次为： 9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95。 经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\sum x_i=9.97$，$s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}\approx 0.212$，$\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(i-8.5{)}^2}\approx 18.439$，${\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})(i-8.5)=-2.78$。 求$(x_i,i)(i=1,2,\dots ,16)$的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若$|r|<0.25$，则可以认为零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）。附：$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$。

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,20)$，其中 $x_i,y_i$ 分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量。计算得 $\sum x_i=60$，$\sum y_i=1200$，$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=80$，$\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=9000$，$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=800$。 求样本的相关系数（精确到0.01）。附：$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$。$\sqrt{2}\approx 1.414$。

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积 $x_i$（单位：${\mathrm{m}}^2$）和材积量 $y_i$（单位：${\mathrm{m}}^3$）。按样本号1—10顺序，数据为： 横截面积：0.04，0.06，0.04，0.08，0.08，0.05，0.05，0.07，0.07，0.06； 材积量：0.25，0.40，0.22，0.54，0.51，0.34，0.36，0.46，0.42，0.40。 总和 $\sum x_i=0.6$，$\sum y_i=3.9$，并计算得 $\sum x_i^2=0.038$，$\sum y_i^2=1.6158$，$\sum x_i{y}_i=0.2474$。 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）。附：$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$。$\sqrt{1.896}\approx 1.377$。