7.2 离散型随机变量及其分布列

第 1 步

从例子进入

同时掷两枚骰子，把两个点数加起来。玩过大富翁的同学可能有感觉：有的和经常出现，有的很少见。先点下面的按钮或柱子，看看 $36$ 种点数对按「点数和」叠起来是什么形状：

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想一想

两个点数的和，下面哪个最容易出现？

看答案与解析

答案：C

C。两枚骰子一共 $6 \times 6 = 36$ 种结果，等可能。和为 $7$ 的有 $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ 共 $6$ 种；和为 $6$ 的有 $5$ 种；和为 $2$ 只有 $(1, 1)$ ，和为 $12$ 只有 $(6, 6)$ 。

刚才做了两件事：给 $36$ 个结果每个配上一个数（点数和），再数出每个数的概率。前一件叫「随机变量」，后一件列成表叫「分布列」。这一节就讲这两样。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：必修二 10.1 概率与样本空间（回看 10.1）；6.2 组合数（回看 6.2）。离散型随机变量是将随机试验的离散结果数值化。

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2. 分布列表格形态与核心性质公式

想一想

自己试试：掷一枚骰子，点数是奇数时记 $X = 1$ ，是偶数时记 $X = 0$ 。 $X$ 有几个可能的取值？

看答案与解析

答案：A

A。取值只有 $0$ 和 $1$ ： $1, 3, 5$ 三个样本点都对应 $1$ ， $2, 4, 6$ 都对应 $0$ 。选 C 的同学数的是样本点，不是取值。

想一想

自己试试： $X$ 的分布列中， $X$ 取 $- 1, 0, 1$ 的概率分别是 $0.2, a, 0.5$ 。 $a =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。 $0.2 + a + 0.5 = 1$ ， $a = 0.3$ 。选 C 的同学只用 $1$ 减了 $0.5$ ，漏了 $0.2$ 。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：一个袋中装有 5 个大小质地完全相同的小球，其中 3 个红球，2 个白球。从中不放回地随机取出 3 个球，设取出红球的个数为 $X$ 。求 $X$ 的分布列。

第一眼破题信号：不放回抽样中特定球的件数 $⟹$ 超几何分布！先确定总体参数： $N = 5$ ，红球总数 $M = 3$ ，抽取球数 $n = 3$ 。再排查 $X$ 的可能取值范围：因为总共才 2 个白球，抽 3 个球必须至少含有 1 个红球（ $3 - 2 = 1$ ），最多可抽到 3 个红球，因此 $X$ 的取值只能是 $1, 2, 3$ （绝不可能为 0）！
第二步套用超几何公式逐点计算：基本事件总数： $C_{5}^{3} = 10$ 种。 • $P (X = 1) = \frac{C _{3}^{1} C _{2}^{2}}{C _{5}^{3}} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10} = 0.3$ ； • $P (X = 2) = \frac{C _{3}^{2} C _{2}^{1}}{C _{5}^{3}} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$ ； • $P (X = 3) = \frac{C _{3}^{3} C _{2}^{0}}{C _{5}^{3}} = \frac{1 \times 1}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$ 。
第三步归一性自查与表格列出：求和验证： $0.3 + 0.6 + 0.1 = 1.0$ ，不多不少正好归一！列出完整分布列： $X$ 123 $P$ 0.30.60.1

想一想

自己试试：掷两枚骰子， $X$ 表示两个点数中较大的那个（相同就取它）。 $P (X = 2) =$ ？

看答案与解析

答案：C

C。较大点数是 $2$ 的样本点： $(1, 2), (2, 1), (2, 2)$ ，共 $3$ 个， $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ 。选 B 的同学漏了 $(2, 2)$ ；选 A 的只想到了 $(2, 2)$ 。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

互动演示载入中

第 3 步

动手

① 两枚骰子：选一个随机变量，看分布列

先选 $X$ 是什么。方格是 $36$ 个样本点，格里的数是这个样本点对应的 $X$ 值。点一个格子（或拖着走，或选中方格后按方向键），同一个取值的格子会一起亮起来，下面对应的柱子也亮。柱子也能点。

互动演示载入中

② 进阶：对 $X$ 做变换，相同取值合并

$X$ 还是两枚骰子的点数和，上排是它的 $11$ 个取值，下排是 $Y$ 的取值，连线表示「这个 $X$ 变成这个 $Y$ 」。数字是样本点个数（除以 $36$ 就是概率）。点下排的点（或选中图后按左右键），看哪几个 $X$ 合并到了一起。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

$X$ 取 $1, 2, 3, 4$ 的概率分别是 $0.1, 0.3, m, 0.2$ 。 $P (X \geq 3) =$ ？

看答案与解析

答案：C

C。先由总和为 $1$ ： $m = 1 - 0.1 - 0.3 - 0.2 = 0.4$ 。 ${X = 3}$ 与 ${X = 4}$ 互斥， $P (X \geq 3) = 0.4 + 0.2 = 0.6$ 。选 B 的同学只算了 $P (X = 3)$ ；选 A 的只算了 $P (X = 4)$ 。

想一想

抛三枚硬币， $X$ 表示正面朝上的枚数。 $P (X \geq 1) =$ ？

看答案与解析

答案：D

D。共 $8$ 个等可能样本点， $X = 0$ 只有「反反反」一个， $P (X = 0) = \frac{1}{8}$ 。 $P (X \geq 1) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ 。选 C 的同学把 $0, 1, 2, 3$ 四个取值当成等可能，算成了 $\frac{3}{4}$ 。

易错

想一想

盒里有标着 $1, 2, 3, 4$ 的四张卡片，一次抽两张， $X$ 是两数之和。 $P (X = 5) =$ ？

看答案与解析

答案：C

C。样本点是 $C_{4}^{2} = 6$ 种抽法： ${1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}$ ，和分别是 $3, 4, 5, 5, 6, 7$ 。和为 $5$ 的有 $2$ 个， $P (X = 5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。

选 B 的同学看到 $X$ 有 $3, 4, 5, 6, 7$ 五个取值，就当每个 $\frac{1}{5}$ ：取值个数不是等可能样本点的个数。选 A 的同学只数到了一种抽法。

想一想

$X$ 取 $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 的概率分别是 $0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1$ ， $Y = X^{2}$ 。 $P (Y = 1) =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。 $Y = 1$ 来自 $X = - 1$ 和 $X = 1$ 两个取值，要合并： $P (Y = 1) = 0.2 + 0.2 = 0.4$ 。 $Y$ 的分布列只有三列： $P (Y = 0) = 0.4$ ， $P (Y = 1) = 0.4$ ， $P (Y = 4) = 0.2$ ，和为 $1$ 。选 A 的同学只抄了一个 $0.2$ ，没合并。

想一想

下面四组数分别作为 $X$ 取 $1, 2, 3$ 的概率，哪一组能构成分布列？

看答案与解析

答案：C

C。两条都要查。A 加起来是 $1.1$ ；B 加起来是 $1$ ，但有负数 $- 0.1$ ，只查总和就会误选它；D 都非负，但和只有 $0.9$ 。C： $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$ ，都非负。

挑战

想一想

小林投篮，每次命中的概率都是 $0.6$ ，各次互不影响。投中就停，最多投 $3$ 次。 $X$ 表示投篮的次数， $P (X = 3) =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。先列全取值： $X = 1, 2, 3$ 。 $P (X = 1) = 0.6$ ； $P (X = 2) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$ ；投到第 $3$ 次，只要前两次都没中，第 $3$ 次中不中都停，所以 $P (X = 3) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$ 。

核查： $0.6 + 0.24 + 0.16 = 1$ 。选 A 的同学算的是「第 3 次才投中」 $0. 4^{2} \times 0.6$ ，漏了第 3 次没中的情形，那样三项加起来只有 $0.936$ ，核查就能发现。选 D 是 $0. 4^{3}$ ，那是「三次都没中」，只是 $X = 3$ 的一部分。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2021 新高考Ⅰ卷第 18 题 · 解答

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A、B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。 (1) 若小明先回答A类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列。

答案与解析

答案： $X$ 的取值为0、20、100，对应概率分别为 $1/5, 8/25, 12/25$ 。

思路

先列可能的比赛终止路径，不把未进入第二题的情形计为额外路径。

确定取值
先答A。若A错，立即结束，得0分；若A对B错，得20分；若A、B都对，得20+80=100分。所以X只能取0、20、100。
逐路径求概率
P(X=0)=1−0.8=0.2。A答对后答B，题给答对概率与次序无关，故这时B答错、答对的概率分别为0.4、0.6。因此P(X=20)=0.8×0.4=0.32，P(X=100)=0.8×0.6=0.48。
列分布并核查
分布列为：X｜0｜20｜100；P｜1/5｜8/25｜12/25。三项均非负，且1/5+8/25+12/25=1。

易错点

把0、20、80、100都列为取值，忽略首错即停。
没有写清取值对应的事件，就直接乘概率。
为分布列题额外引入还未学的期望公式。

小结

分布列先找齐随机变量的可能取值，再将每个取值对应到具体事件。

2026 新高考Ⅰ卷第 17 题 · 解答

设整数 $N \geq 2$ ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次。当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，各次投中与否相互独立。记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数。 (1) 当 $N = 4, p = \frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列。

答案与解析

答案： $X = 1, 2, 3, 4$ 对应概率依次为 $1/3, 2/9, 4/27, 8/27$ 。

思路

前三个取值必须在该次首次命中；第4次只要求此前三次全未中。

确定前三个概率
P(X=1)=1/3。X=2要求先未中再中，由独立性P(X=2)=(2/3)(1/3)=2/9。X=3要求前两次未中、第3次命中，故P(X=3)=(2/3)^2(1/3)=4/27。
处理上限取值
X=4只要求前三次都未中；第4次无论中还是不中都停。故P(X=4)=(2/3)^3=8/27，而不是再乘1/3。
列分布并核查
分布列为：X｜1｜2｜3｜4；P｜1/3｜2/9｜4/27｜8/27。概率和为9/27+6/27+4/27+8/27=1。

易错点

所有取值都照搬首次命中公式，漏掉四次全不中路径。
将X=4误作四次全未中。

小结

有次数上限的停止模型，最后一项需要把达到上限的所有终止路径合并。

2016 全国Ⅱ卷（理科）第 18 题 · 解答

某险种的基本保费为 $a$ （单位：元， $a > 0$ ），继续购买该险种的投保人成为续保人。续保人本年度保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数｜0｜1｜2｜3｜4｜ $\geq 5$ 保费｜ $0.85 a$ ｜ $a$ ｜ $1.25 a$ ｜ $1.5 a$ ｜ $1.75 a$ ｜ $2 a$ 该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：出险次数｜0｜1｜2｜3｜4｜ $\geq 5$ 概率｜0.30｜0.15｜0.20｜0.20｜0.10｜0.05 (Ⅲ) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

答案与解析

答案： $1.23$ 。

思路

先把保费除以 a，将问题化为六个保费比值的加权平均。

建立比值分布
令 $Y = 本年度保费 / a$ 。Y依次取0.85、1、1.25、1.5、1.75、2，对应概率分别为0.30、0.15、0.20、0.20、0.10、0.05。
计算期望
$E (Y) = 0.85 \times 0.30 + 1 \times 0.15 + 1.25 \times 0.20 + 1.5 \times 0.20 + 1.75 \times 0.10 + 2 \times 0.05 = 1.23$ 。
返回实际量
平均保费为 $E (aY) = a E (Y) = 1.23 a$ ，与基本保费a的比值为1.23。

易错点

把六个档位直接作简单平均。
将至少5次错误拆成无限多个不同保费档位。

小结

分布的概率是权重；多个出险次数对应同一保费时合并为一个取值。

2021 新高考Ⅱ卷第 21 题 · 解答

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列。设 $X$ 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0, 1, 2, 3)$ 。 (1) 已知 $p_{0} = 0.4, p_{1} = 0.3, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ 。

答案与解析

答案： $E (X) = 1$ 。

思路

期望是四种繁殖个数按概率加权的平均数。

写清分布
X依次可取0、1、2、3，对应概率0.4、0.3、0.2、0.1；四个概率非负且和为1。
计算加权平均
E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=0+0.3+0.4+0.3=1。
解释所求
含义是一个个体繁殖下一代个数的平均值为1；并非每个个体一定恰好产生一个后代，也未要求本小问判断多代后的生存概率。

易错点

把最可能的取值0当成期望。
遗漏X=0的取值或误将概率作权重平均后再除以4。

小结

离散型随机变量的期望同时使用取值和概率。

2025 新高考Ⅰ卷第 14 题 · 填空

一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为 $X$ ，则数学期望 $E (X) =$ ______。

答案与解析

答案： $\frac{61}{25} = 2.44$

思路

X计数不同标号的球，不是总抽取次数；可能取值为1、2、3。

计数等可能序列
每次抽到五个球等可能，有放回使三次样本空间为5^3=125个有序序列。X=1有5个序列。X=2先选两个标号，再排除只用其中一个的序列，有C(5,2)(2^3−2)=60个。X=3有5×4×3=60个。
列分布并求期望
所以P(X=1)=1/25，P(X=2)=12/25，P(X=3)=12/25。E(X)=(1+24+36)/25=61/25。
指示变量复核
对每个球，三次都没抽到的概率为(4/5)^3，至少抽到一次的概率为1−(4/5)^3。五个球的指示变量求和得E(X)=5[1−(4/5)^3]=61/25，无须假定这五个“被抽到”事件独立。

易错点

把至少取出一次的不同球数当成固定抽取次数3。
误把五个“被取到”事件当成相互独立。
只选两个标号而不计三次抽取的顺序。

小结

区分抽取次数与不同对象数；指示变量求期望只需线性性，不要求独立。

7.2 离散型随机变量及其分布列

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词

2. 分布列表格形态与核心性质公式

3. 三步破题思维链例题

4. 三大翻车现场红绿对比卡

动手

① 两枚骰子：选一个随机变量，看分布列

② 进阶：对 X 做变换，相同取值合并

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

② 进阶：对 $X$ 做变换，相同取值合并