7.3 离散型随机变量的数字特征

B。$10\times 10+2\times 30+0\times 60=160$ 元。

平均每次大约 $160÷100=1.6$ 元，也就是 $10\times \frac{1}{10}+2\times \frac{3}{10}+0\times \frac{6}{10}=1.6$：每个取值乘上它的概率再加起来。

这个「按概率加权的平均」就是本节的均值。注意 $1.6$ 元一次也转不出来，它说的是转很多次之后的平均。光有平均还不够，每次得多得少差得大不大，要用方差来量。

B。$1\times 0.2+2\times 0.5+3\times 0.3=0.2+1+0.9=2.1$。选 A 的同学把 $1,2,3$ 直接平均了，等于把三个概率都当成 $\frac{1}{3}$；可 $3$ 的概率 $0.3$ 比 $1$ 的 $0.2$ 大，均值要往 $3$ 那边偏一点。选 C 是只把取值加起来、没乘概率。

A。$E(X)=2$，两个值离 $2$ 都是 $1$，$D(X)=1^2\times 0.5+1^2\times 0.5=1$。或者 $E(X^2)=\frac{1+9}{2}=5$，$D(X)=5-2^2=1$。选 B 是偏离平方后忘了乘概率；选 C 是算成了 $E(X^2)-E(X)$，均值忘了平方；选 D 只算了 $E(X^2)$。

B。$\sigma (X)=\sqrt{4}=2$，$\sigma (Y)=|-2|\times 2=4$；或 $D(Y)=(-2{)}^2\times 4=16$，开方得 $4$。选 A 把 $-2$ 直接乘上去了，可标准差是非负平方根，不会是负数。C 是 $D(Y)$，还没开方。D 是把 $E$ 的公式套到了 $D$ 上：$-2\times 4+1$。

A。$(-1)\times 0.2+0\times 0.5+2\times 0.3=-0.2+0+0.6=0.4$。选 B 是把三个取值简单平均了；选 C 是漏了 $-1$ 那一项的负号贡献。

A。$E(Y)=3\times 2-1=5$，$D(Y)=3^2\times 3=27$。B 是 $a$ 没平方；C 是把 $-1$ 也减到了方差上，可平移不改变方差；D 是均值忘了 $-1$。

B。均值是按概率加权的平均，说的是很多次的平均水平，它不一定是 $X$ 能取到的值。A、C 都把「均值」当成了「某一次的结果」。

B。净收益可能是 $95$、$5$、$-5$ 元，概率 $0.03$、$0.1$、$0.87$：

$95\times 0.03+5\times 0.1+(-5)\times 0.87=2.85+0.5-4.35=-1$。

也可以先算奖金均值 $100\times 0.03+10\times 0.1=4$，再减成本 $5$。A 忘了扣成本。C 把长期平均当成了每一次的结果：单买一张只会是 $95$、$5$ 或 $-5$，不会正好是 $-1$。

A。均值确实都是 $2$：甲 $1\times 0.5+3\times 0.5=2$，乙 $-2\times 0.2+3\times 0.8=2$。可方差甲是 $1$，乙是 $4\times 0.2+9\times 0.8-2^2=4$，乙波动大，而且有 $0.2$ 的机会亏 $2$ 万。

小王的目标是不亏，甲最少也赚 $1$ 万，选甲。C 只看了均值；B 只看了最好的结果。均值一样时，要看风险和目标。

A。先求 $D(X)=5-2^2=1$。于是 $E(Y)=2\times 2+3=7$，$D(Y)=2^2\times 1=4$。再把 $D(Y)=E(Y^2)-(E(Y){)}^2$ 倒过来：$E(Y^2)=4+7^2=53$。

B 是把 $E(Y^2)$ 当成了 $(E(Y){)}^2$，差的正是方差。C 是把 $(2X+3{)}^2$ 展开成 $4X^2+9$，漏了中间项 $12X$：正确是 $4\times 5+12\times 2+9=53$。D 是把 $E(aX+b)$ 的公式直接套到 $X^2$ 上：$4\times 5+3$。