7.1 条件概率与全概率公式

B。已经知道是男生，那就只在 $20$ 个男生里看，其中 $15$ 个会游泳，概率 $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$。

另外几个数也有意思：$\frac{15}{50}$ 是「是男生并且会游泳」的概率；$\frac{15}{33}$ 是反过来「已知会游泳，是男生」的概率；$\frac{33}{50}$ 是不管男女、会游泳的概率。四个数四个意思。

「已知……」让我们只看样本空间的一部分，这就是这一节的条件概率。

A。已知大于 $2$，只剩 $\{3,4,5,6\}$，其中偶数 $4,6$，概率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。选 B 的同学用了 $\frac{2}{6}$，那是「大于 $2$ 并且是偶数」的概率，分母没换成 $4$。

A。$\frac{2}{10}\times \frac{1}{9}=\frac{1}{45}$：甲中奖后只剩 $9$ 张、其中 $1$ 张中奖。选 B 的同学算成 $\frac{2}{10}\times \frac{2}{10}$，那是抽完放回去的情形。

C。按第一次的颜色分两种情况：$\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}+\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{3}{5}$，和第一次一样。选 A 的同学只算了「第一次红」那一块，漏了「第一次白、第二次红」。

A。$P(B\mid A)=\frac{0.15}{0.6}=0.25$。选 B 的同学把两数乘起来了；条件概率是「除以条件的概率」。

A。「下雨」「不下雨」是划分：$0.3\times 0.2+0.7\times 0.05=0.06+0.035=0.095$。选 C 是把 $0.2$ 和 $0.05$ 直接平均，没按 $0.3$、$0.7$ 的比重；选 D 漏了不下雨那一块。

B。$60\%$ 是「在合格的条件下是一等品」，即 $P(B\mid A)=0.6$；题目问的是在全部产品里看，一等品就是「合格且一等」：$P(A\cap B)=0.9\times 0.6=0.54$。选 A 把「在……条件下」当成了「且」。

B。已知「高」，分母是 $20$ 个高个子，其中篮球队员 $10$ 人：$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。$1$ 是反过来的 $P(\text{高}\mid \text{篮球队员})$：队员一定高，高的不一定是队员。$P(B\mid A)$ 和 $P(A\mid B)$ 分母不同，不能互换。

C。等可能的结果是「正正、正反、反正、反反」。已知至少一枚正面，剩「正正、正反、反正」三个，等可能，其中两枚都正面的 $1$ 个：$\frac{1}{3}$。选 A 的同学数的是「一枚正面」「两枚正面」两种情况，可这两种不是等可能的（前者 $\frac{1}{2}$，后者 $\frac{1}{4}$），不能直接数个数。用定义核对：$\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$。

B。按「从甲袋取出的颜色」划分，两块各占 $\frac{1}{2}$：

取出红：乙袋变成 $2$ 红 $3$ 白，再取红的概率 $\frac{2}{5}$；取出白：乙袋变成 $1$ 红 $4$ 白，概率 $\frac{1}{5}$。

$P=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$。选 A 是忘了乙袋多了一个球；选 C 是把两种情况的概率直接相加，没乘各自的权重 $\frac{1}{2}$。