6.3 二项式定理

第 1 步

从例子进入

把展开 $(a + b)^{4} = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)$ 想象成 4 个礼盒：每个盒子里都装着一颗红球 $a$ 和一颗蓝球 $b$ 。把括号乘开，就是从 4 个盒子里各摸出 1 颗球乘在一起。先点下面的按钮，看看摸出几个蓝球 $b$ 各有多少种选盒法：

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想一想

要凑出 $a^{2} b^{2}$ 这一项（即从 4 个盒子里选 2 个拿 $b$ 、其余 2 个拿 $a$ ），为什么它的系数恰好是 $C_{4}^{2} = 6$ ？

看答案与解析

答案：B

B。多项式乘法的本质就是从每一个相乘的括号中任挑一个字母相乘！

$(a + b)^{n} = n 个因式 (a + b) (a + b) \dots (a + b) 。$ 要得到形如 $a^{n - r} b^{r}$ 的单项式，必须且只需在其中的 $r$ 个括号里选字母 $b$ ，而在剩下的 $n - r$ 个括号里全部选字母 $a$ 。

从这 $n$ 个括号中选出 $r$ 个括号贡献 $b$ ，选法总数正是从 $n$ 个不同对象中选 $r$ 个的组合数 $C_{n}^{r}$ ！

这一节我们就来系统建立二项式定理、通项公式以及高考秒杀利器——赋值法。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：6.2 排列与组合（回看 6.2），二项式定理的本质是乘法分配律与组合计数的结合。

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2. 二项式色彩语义主公式与赋值法

想一想

自己试试： $(1 + 2 x)^{5}$ 展开式的第 $3$ 项是？

看答案与解析

答案：A

A。第 $3$ 项对应 $r = 2$ ： $T_{3} = C_{5}^{2} \cdot 1^{3} \cdot (2 x)^{2} = 10 \times 4 x^{2} = 40 x^{2}$ 。选 B 是把 $r$ 取成了 $3$ （那是第 $4$ 项）；选 C 是忘了 $2 x$ 里的 $2$ 也要平方；选 D 是 $2$ 只乘了一次。

想一想

自己试试： $(x - \frac{2}{x ^{2}})^{6}$ 展开式的常数项是？

看答案与解析

答案：A

A。 $T_{r + 1} = C_{6}^{r} x^{6 - r} (- 2 x^{- 2})^{r} = (- 2)^{r} C_{6}^{r} x^{6 - 3 r}$ 。令 $6 - 3 r = 0$ ， $r = 2$ ，常数项 $= (- 2)^{2} \times C_{6}^{2} = 4 \times 15 = 60$ 。选 B 是忘了乘 $(- 2)^{2}$ ；选 C 是负号没跟着平方；选 D 是把 $x^{- 2}$ 的 $r$ 次方算成了 $x^{- r}$ ，次数写成 $6 - 2 r$ ，解出 $r = 3$ 。

想一想

自己试试：在 $(2 x - 1)^{5}$ 的展开式中，第 3 项的「二项式系数」与该项的「系数」分别是：

看答案与解析

答案：A

A。通项是 $T_{r + 1} = C_{5}^{r} (2 x)^{5 - r} (- 1)^{r}$ ，第 3 项对应 $r = 2$ 。

二项式系数只看组合数： $C_{5}^{2} = 10$ 。

项： $T_{3} = 10 \times (2 x)^{3} \times (- 1)^{2} = 80 x^{3}$ ，系数 $80$ ， $(- 1)^{2} = 1$ 所以是正的。

选 B 是把 $(- 1)^{2}$ 的符号算成了负；选 C 是把 $C_{5}^{2}$ 算成了 $5 \times 4 = 20$ ，忘了除以 $2$ ；选 D 是把两个词弄反了。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：在 $(x - \frac{2}{x ^{2}})^{6}$ 的展开式中，求： ① 展开式中的常数项； ② 第 3 项的二项式系数与该项的系数。

第一眼破题信号：无论求特定项还是求常数项，破题第一步必须且只能是写出规范通项 $T_{r + 1}$ ，严格把常数因数、负号与未知数 $x$ 的指数幂剥离拆开！
第二步通项分离与指数列方程： • 写出通项： $T_{r + 1} = C_{6}^{r} \cdot x^{6 - r} \cdot (- 2 x^{- 2})^{r} = (- 2)^{r} C_{6}^{r} \cdot x^{6 - 3 r}$ ； • ① 求常数项：常数项即 $x$ 的指数为 $0$ ，令 $6 - 3 r = 0 ⟹ r = 2$ 。代入通项得：常数项为 $T_{3} = (- 2)^{2} C_{6}^{2} \cdot x^{0} = 4 \times 15 = 60$ ； • ② 分析第 3 项：第 3 项对应 $r = 3 - 1 = 2$ ： – 二项式系数仅为组合数： $C_{6}^{2} = 15$ ； – 该项的系数为全部数值因数： $(- 2)^{2} C_{6}^{2} = 4 \times 15 = 60$ 。
第三步防坑结论核查：防坑 1：常数项中负号参与偶数次方变正（ $(- 2)^{2} = 4$ 不是 $- 4$ ）；防坑 2：二项式系数是 15，绝不能带上 4 算成 60，二者概念严格分明！

想一想

自己试试：设 $(2 x + 1)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ ？

看答案与解析

答案：C

C。令 $x = 1$ 得 $f (1) = 3^{4} = 81$ ，令 $x = - 1$ 得 $f (- 1) = (- 1)^{4} = 1$ 。偶次项系数和 $= \frac{81 + 1}{2} = 41$ （展开式是 $16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$ ， $1 + 24 + 16 = 41$ ）。选 A 是所有系数都加了；选 B 是用了减号，算成了奇次项系数和；选 D 是套了二项式系数的 $2^{n - 1}$ ，可这里问的是项的系数。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

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第 3 步

动手

杨辉三角与二项展开式实时推演实验室

调节指数 $n$ （1～7，支持键盘 ← / → 调节），实时生成杨辉三角金字塔。点击金字塔数字可高亮展开项；切换赋值开关即刻验证全系数和与交错项：

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第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间两道是最常见的致命陷阱，最后一道是高考综合挑战。

直接用

想一想

$(x + 2)^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为：

看答案与解析

答案：B

B。通项公式为 $T_{r + 1} = C_{5}^{r} x^{5 - r} 2^{r}$ 。

令 $5 - r = 3 ⟹ r = 2$ 。

代入求该项系数： $C_{5}^{2} \times 2^{2} = 10 \times 4 = 40$ 。

注意区分：该项的「二项式系数」是 $C_{5}^{2} = 10$ ，而「项的系数」是 $40$ 。

想一想

已知 $(1 + x)^{n}$ 展开式中所有项的二项式系数之和为 $128$ ，则该展开式共有多少项？

看答案与解析

答案：B

B。二项式系数之和公式为 $\sum_{r = 0}^{n} C_{n}^{r} = 2^{n}$ 。

已知 $2^{n} = 128 = 2^{7}$ ，解得 $n = 7$ 。

展开式一共有 $n + 1 = 7 + 1 = 8$ 项！无数考生在此粗心错选 A。

易错

想一想

展开式 $(x - \frac{1}{x})^{6}$ 中的第 4 项为：

看答案与解析

答案：B

B。通项公式为 $T_{r + 1} = C_{6}^{r} x^{6 - r} (- \frac{1}{x})^{r} = (- 1)^{r} C_{6}^{r} x^{6 - 2 r}$ 。

易错红线 1：求第 4 项必须代入 $r = 4 - 1 = 3$ （不是 $r = 4$ ）！

易错红线 2：负号在奇数次方下必须保留： $(- 1)^{3} = - 1$ 。

因此第 4 项为 $T_{4} = (- 1)^{3} C_{6}^{3} x^{6 - 6} = - 1 \times 20 \times 1 = - 20$ 。漏掉负号就会错选 A。

想一想

若 $(2 x - 3)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则该展开式中「各项系数之和」与「各项二项式系数之和」分别为：

看答案与解析

答案：A

A。必须严格区分「系数和」与「二项式系数和」：

① 求各项系数之和：利用赋值法令 $x = 1$ ，左边为 $(2 \times 1 - 3)^{5} = (- 1)^{5} = - 1$ ，右边恰好是 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ；

② 求二项式系数之和：它仅由组合数决定，恒等于 $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + \dots + C_{5}^{5} = 2^{5} = 32$ 。

两者含义迥然不同，考场上必须先看清题目问的是哪个词！

挑战

想一想

在 $(x - 1) (x + 2)^{4}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为：

看答案与解析

答案：D

D。双因式相乘，用乘法分配律拆解为两组展开：

$(x - 1) (x + 2)^{4} = x \cdot (x + 2)^{4} - 1 \cdot (x + 2)^{4}$ 。

要凑成 $x^{3}$ 项，有两种途径：

① 前项 $x \cdot (x + 2)^{4}$ 中，需要 $(x + 2)^{4}$ 贡献 $x^{2}$ 项：对应 $r = 2$ ，即 $C_{4}^{2} x^{2} 2^{2} = 6 \times 4 x^{2} = 24 x^{2}$ ，乘面前的 $x$ 得到 $24 x^{3}$ ；

② 后项 $- 1 \cdot (x + 2)^{4}$ 中，需要 $(x + 2)^{4}$ 贡献 $x^{3}$ 项：对应 $r = 1$ ，即 $C_{4}^{1} x^{3} 2^{1} = 4 \times 2 x^{3} = 8 x^{3}$ ，乘面前的 $- 1$ 得到 $- 8 x^{3}$ ；

合并两处同类项： $24 x^{3} - 8 x^{3} = 16 x^{3}$ ，因此系数为 $16$ 。

第 5 步

高考真题

这一节的真题正在整理中。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。

2024 北京卷第 4 题 · 单选

$(x - x)^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为（　）。

看答案与解析

答案：B

把 $x$ 看作 $x^{1/2}$ ，先解出哪一项的总次数等于3。

写出通项

若从四个因子中有 $k$ 个取 $- x$ ，其余取 $x$ ，则对应项为 $(k 4) x^{4 - k} (- x)^{k} = (- 1)^{k} (k 4) x^{4 - k /2} .$

定位指数

令 $4 - \frac{k}{2} = 3$ ，得 $k = 2$ 。此项取负号两次，符号为正。

计算系数

系数为 $(2 4) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ ，选B。

通项中的指数和符号要分别核对。

2025 北京卷第 12 题 · 填空

已知 $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} - 2 a_{1} x + 4 a_{2} x^{2} - 8 a_{3} x^{3} + 16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ 。

答案与解析

答案： $1$ ； $15$

思路

题面已把 (-2)^k 单独提出，a_k 对应二项式系数。

比较通项
二项式定理给出 $(1 - 2 x)^{4} = \sum_{k = 0}^{4} (k 4) (- 2)^{k} x^{k}$ 。逐项比较得 $a_{k} = (k 4)$ 。
计算两空
$a_{0} = (0 4) = 1$ ；其余四个为 4、6、4、1，和为 15。
代入核查
也可令 $x = - 1/2$ ，得 $16 = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，减去 $a_{0} = 1$ 即得 15。

易错点

把 a1 误当成 -8。
求系数和时没有处理题面额外提出的 (-2)^k。

小结

先看清通项中哪些因子已被提出，再识别二项式系数。