4.3 对数

数一数：$2,4,8,16,32$，第 $5$ 轮刚好通知到 $32$ 人。B。也就是 $2^5=32$。

这道题知道底数 $2$、知道结果 $32$，反过来问指数（第几轮）：「$2$ 的几次方等于 $32$」。这个「几次方」就叫对数，写成 ${\log }_{2}32=5$。

这一节讲：对数怎么定义、什么时候有意义、怎么算（三条运算性质和换底公式）。

B。$\frac{1}{8}=2^{-3}$，所以 ${\log }_2\frac{1}{8}=-3$。选 A 的同学丢了负号（$2^3=8$，不是 $\frac{1}{8}$）；选 C、D 的同学把「取倒数」和「指数开方」弄混了。

A。对数相加，真数相乘：${\log }_6(4\times 9)={\log }_{6}36=2$。选 C 的同学把真数加了起来——对数没有这条法则。

B。$\frac{\lg 27}{\lg 9}=\frac{3\lg 3}{2\lg 3}=\frac{3}{2}$。选 A 的同学算了 $27÷9$——换底后是两个对数相除，不是真数相除；选 C 的同学分子分母放反了。

A。$\lg 25+\lg 4=\lg (25\times 4)=\lg 100=2$。选 C 的同学算到真数 $100$ 就停了，还差最后一步「$10$ 的几次方是 $100$」；选 B 是把真数加了起来。

A。换成常用对数：$\frac{\lg 3}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 8}{\lg 3}=\frac{\lg 8}{\lg 2}=\frac{3\lg 2}{\lg 2}=3$。选 B 的同学约掉 $3$ 后把 ${\log }_{2}8$ 当成了 $8$；选 D 的同学以为两个对数「互为倒数」，可 ${\log }_{2}3$ 的倒数是 ${\log }_{3}2$，不是 ${\log }_{3}8$。

B：$4+4=8=2^3$，所以 ${\log }_{2}8=3$。

选 A 的同学把 $\log$ 当成了括号，往加号里面「分配」。对数没有「和的对数等于对数的和」这条法则；真正的法则是积的对数等于对数的和：${\log }_2(4\times 4)={\log }_{2}4+{\log }_{2}4=4$。拿不准时，先把真数算出来，再问「$2$ 的几次方」。

B。左边 $\lg x^2$ 在 $x\ne 0$ 时都有意义，比如 $x=-10$：$\lg 100=2$。但右边 $2\lg (-10)$ 没有意义，等式不成立。

幂的法则 ${\log }_a{M}^r=r{\log }_{a}M$ 要求 $M>0$，不能因为 $M^r$ 有意义就跳过它。$x\ne 0$ 时正确的写法是 $\lg x^2=2\lg |x|$。

B。合并成 $\lg [x(x-3)]=1$，得 $x^2-3x=10$，$x=5$ 或 $x=-2$。

可原方程要 $x>0$ 且 $x-3>0$，即 $x>3$。$x=-2$ 代回去，$\lg (-2)$ 没有意义，舍去。

问题出在合并那一步：$\lg [x(x-3)]$ 只要求乘积为正，比原来两个真数各自为正宽，多出来的解要靠检验删掉。所以先写条件、最后验解。

A。换成常用对数：${\log }_{12}5=\frac{\lg 5}{\lg 12}$。

分子：$5=\frac{10}{2}$，$\lg 5=\lg 10-\lg 2=1-a$。分母：$12=2^2\times 3$，$\lg 12=2\lg 2+\lg 3=2a+b$。

选 B 的同学把 $12$ 拆成了 $2\times 3$（那是 $6$）；选 C 的同学把 $\lg \frac{10}{2}$ 写成了加；D 是把真数直接相除。