4.1 指数

第 1 步

从例子进入

用一个理想的连续增长模型描述细菌相对数量：相同时长总乘相同倍数，每过 $1$ 小时变成 $2$ 倍。那每过半小时呢？仅知道整点翻倍还不足以确定半小时，下面使用上述模型假设。先点下面的按钮，拿不同的倍率 $x$ 连乘两次（两个半小时 $= 1$ 小时）试试看：

互动演示载入中

想一想

半小时变成原来的几倍？

看答案与解析

答案：B

试一试： $1.5 \times 1.5 = 2.25$ ，多了； $1.41 \times 1.41 \approx 1.99$ ，差不多正好； $1 \times 1 = 1$ 、 $2 \times 2 = 4$ 都不对。B。

增长倍数为正，要找的数满足 $x^{2} = 2$ ，取 $x = 2 \approx 1.414$ 。有限小数 $1.414$ 不是 $2$ 的精确值； $1.41 4^{2} = 1.999396$ ，仍略小于 $2$ 。

$1$ 小时乘 $2^{1}$ ， $2$ 小时乘 $2^{2}$ ，那半小时自然想写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。这一节就讲： $2^{\frac{1}{2}}$ 、 $8^{\frac{2}{3}}$ 甚至 $2^{2}$ 是什么意思，又该怎么算。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词：方根、根式与底数条件

要用到：初中的整数指数幂、平方根、立方根和绝对值；3.3 的幂函数图象（回看 3.3）。先看下面这幅微图解：

互动演示载入中

2. 核心数学运算法则与根式幂化总览表

想一想

自己试试：「 $16$ 的 $4$ 次方根」和「 $416$ 」分别是什么？

看答案与解析

答案：C

C。 $2^{4} = 16$ ， $(- 2)^{4} = 16$ ，所以 $16$ 的 $4$ 次方根有两个： $\pm 2$ 。

根式 $416$ 是一个确定的数，只取非负的那个，等于 $2$ 。本题被开方数为正，所以偶次方根有两个；被开方数为零时只有零这一个根。偶次根式始终只表示非负的那个数。

想一想

自己试试： $4 (- 3)^{4} + 3 (- 3)^{3} =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。 $4 (- 3)^{4} = 481 = 3$ （偶次，是 $∣ - 3∣$ ）， $3 (- 3)^{3} = - 3$ （奇次），和是 $0$ 。选 A 的同学把两个都当成「直接抵消」得 $- 3$ ； $(- 3)^{4} = 81$ 是正数，开 $4$ 次方完全有意义。

3. 三步破题思维链：化根为幂与指数化简

想一想

自己试试： $8^{- \frac{2}{3}} =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。 $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 4$ ，再取倒数得 $\frac{1}{4}$ 。选 A 的同学把负指数当成了前面加负号；选 C 的是忘了负号。

想一想

自己试试： $a > 0$ ， $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{1}{6}} =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。同底相乘指数相加，相除指数相减： $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ 。选 A 的同学把「乘」做成了指数相乘、「除」做成了指数相除： $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 1$ 。

想一想

自己试试：已知 $1 < 3 < 2$ ， $3^{3}$ 在哪两个数之间？

看答案与解析

答案：B

B。底数 $3 > 1$ ， $3^{1} < 3^{3} < 3^{2}$ ，即在 $3$ 和 $9$ 之间（其实约 $6.7$ ）。选 A 的同学拿 $3$ 本身（约 $1.73$ ）去比了，忘了它是指数。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

再深一点（可以先跳过）

负底数的整数次幂没问题： $(- 2)^{3} = - 8$ ， $(- 2)^{- 2} = \frac{1}{4}$ ， $(- 2)^{2} \cdot (- 2)^{3} = (- 2)^{5} = - 32$ 。整数幂可以另按定义计算；不能因此把正底数下对任意实数指数成立的全部规则推广到负底数。

为什么同一个分数换写法，正底数不会出两个值： $a > 0$ 时 $6 a^{2}$ 和 $3 a$ 都是正数，六次方都等于 $a^{2}$ ，而正数的六次方根只有一个正的，所以相等。负底数时 $3 - 8$ 是负的， $664$ 是正的，这条论证就断了。

无理数指数：逼近 $2$ 的分数越精确， $2$ 的这些次幂就越接近同一个数——这件事需要大学里的「极限」才能严格说清，高中只要求会用。「动手」②可以一位一位看它被夹出来。

第 3 步

动手

① 看见 n 次方根

绿色曲线是 $y = x^{n}$ ，金色水平线是 $y = a$ 。交点的横坐标就是方程 $x^{n} = a$ 的解，也就是 $a$ 的 $n$ 次方根。上下拖动右边的圆点改 $a$ （或 Tab 选中后按方向键），点按钮换 $n$ 。试试： $n$ 取偶数时把 $a$ 拖到负数，交点去哪了？ $n$ 取奇数时呢？

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② 进阶：把 $2^{2}$ 夹出来

拖动滑块（或选中后按方向键），多取一位 $2$ 的小数。每一行是一对分数指数 $r_{1} < 2 < r_{2}$ ，条形从 $2^{r_{1}}$ 画到 $2^{r_{2}}$ ，红色虚线是 $2^{2}$ 的位置。区间窄于一个图坐标单位时只画位置细刻线，严格上下界以下方指数为准，不放大成假区间。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

$2 7^{\frac{2}{3}} + 1 6^{- \frac{1}{2}} =$ ？

看答案与解析

答案：C

C。 $2 7^{\frac{2}{3}} = (327)^{2} = 9$ ， $1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ ，和是 $\frac{37}{4}$ 。选 A 的同学把 $1 6^{- \frac{1}{2}}$ 算成了 $- 4$ ；选 B 的把 $2 7^{\frac{2}{3}}$ 算成了 $27 \times \frac{2}{3} = 18$ 。

想一想

$a > 0$ ，化简 $\frac{a ^{2}}{a \cdot 3 a ^{2}}$ 。

看答案与解析

答案：B

B。分母 $= a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{7}{6}}$ ，所以原式 $= a^{2 - \frac{7}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$ 。选 A 的同学把分母算成了 $a^{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$ ；选 C 的把除法做成了加。

易错

想一想

$x$ 是任意实数， $x^{2}$ 化简后等于什么？

看答案与解析

答案：C

C。对应「偶次根式取非负」这一条。觉得「先平方再开方，抵消了」会选 A，拿 $x = - 3$ 试： $(- 3)^{2} = 9 = 3$ ，不是 $- 3$ 。

选 B 是把「 $9$ 的平方根是 $\pm 3$ 」和「 $9$ 」混了： $x^{2}$ 一定 $\geq 0$ ， $x \geq 0$ 时是 $x$ ， $x < 0$ 时是 $- x$ ，合起来就是 $∣ x ∣$ 。

想一想

小明这样算： $(- 8)^{\frac{1}{3}} = (- 8)^{\frac{2}{6}} = 6 (- 8)^{2} = 664 = 2$ 。问题出在哪？

看答案与解析

答案：B

B。对应「互化之前先查底数条件」这一条。 $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ 没错，错在把正底数下才成立的规则用到了 $- 8$ 上。

$- 8$ 的立方根回到根式去算： $3 - 8 = - 2$ 。C 也不对： $664$ 是偶次根式，只取 $2$ 。

想一想

$0^{\frac{2}{3}}$ 和 $0^{- \frac{2}{3}}$ 各是多少？

看答案与解析

答案：D

D。对应「底数是 $0$ 」这一条。 $0^{\frac{2}{3}} = 3 0^{2} = 0$ ，正分数指数幂没问题。

$0^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{0 ^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{0}$ ，分母为 $0$ ，没有意义。选 C 的同学可能想到了 $a^{0} = 1$ ，但这里指数是 $- \frac{2}{3}$ ，不是 $0$ 。

再看三层嵌套根式，练习从里往外化指数；下面是一道同类例题。

挑战

想一想

已知 $a > 0$ 且 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $a + a^{- 1}$ 。

看答案与解析

答案：A

A。不用解出 $a$ ，两边平方： $(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 a^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}} + a^{- 1} = a + 2 + a^{- 1} = 9$ ，所以 $a + a^{- 1} = 7$ 。

中间项 $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{- \frac{1}{2}} = a^{0} = 1$ 。选 B 的同学平方时漏了中间的 $2$ 。（根式要求 $a \geq 0$ ，而负二分之一次幂还要求分母非零，两者合起来才是 $a > 0$ 。）

视频先求本题的 $7$ ，再追加 $a^{2} + a^{- 2}$ 得 $47$ ，练习指数继续翻倍。

第 5 步

高考真题

选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2019 全国Ⅱ卷（理科）第 4 题 · 单选

2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行。 $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为 $M_{1}$ ，月球质量为 $M_{2}$ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： $\frac{M _{1}}{( R + r ) ^{2}} + \frac{M _{2}}{r ^{2}} = (R + r) \frac{M _{1}}{R ^{3}} .$ 设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于α的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α ^{3} + 3 α ^{4} + α ^{5}}{( 1 + α ) ^{2}} \approx 3 α^{3},$ 则r的近似值为（　）。

看答案与解析

答案：D

把r写成αR先约去共同尺度；题给近似式控制的是三次幂，所以最后应开三次方。

按α约去长度尺度

质量和距离均为正。代入 $r = α R$ ，方程两边除以 $M_{1} / R^{2}$ ，得 $\frac{1}{( 1 + α ) ^{2}} + \frac{M _{2} / M _{1}}{α ^{2}} = 1 + α$ 。

整理出题给的三次幂近似

移项并乘 $α^{2}$ ，得 $\frac{M _{2}}{M _{1}} = \frac{α ^{2} [( 1 + α ) ^{3} - 1 ]}{( 1 + α ) ^{2}} = \frac{3 α ^{3} + 3 α ^{4} + α ^{5}}{( 1 + α ) ^{2}} \approx 3 α^{3}$ 。这里只用整式展开与原题提供的近似关系。

取正三次方根

于是 $α^{3} \approx \frac{M _{2}}{3 M _{1}}$ 。因 $α > 0$ ，得 $r = α R \approx 3 \frac{M _{2}}{3 M _{1}} R$ ，选D。

根式次数由最终的幂关系决定；代换与同次幂约分能把复杂模型化为可计算的代数关系。

2023 天津卷第 3 题 · 单选

若 $a = 1.0 1^{0.5}$ ， $b = 1.0 1^{0.6}$ ， $c = 0. 6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（　）。

看答案与解析

答案：D

先用1分开a与c，再把b/a写成1.01的正十次方根，比较a、b。

以1作参照

$a = 1.01 > 1$ ， $c = 0.6 < 1$ ，所以a>c。

比较同底的两数

由指数运算律， $b / a = 1.0 1^{0.6 - 0.5} = 1.0 1^{1/10}$ 。它是1.01的正十次方根，必大于1，因此b>a。综合得b>a>c，选 D。

分数指数比较可以还原为正根式，借助1和比值完成。

4.1 指数

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词：方根、根式与底数条件

2. 核心数学运算法则与根式幂化总览表

3. 三步破题思维链：化根为幂与指数化简

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

动手

① 看见 n 次方根

② 进阶：把 22​ 夹出来

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

② 进阶：把 $2^{2}$ 夹出来