4.4 对数函数

A。接着翻倍：$16,32,64,128,256,512,1024$，正好是第 $10$ 小时。也就是 $2^{10}=1024$。

反过来问「数量是 $N$，过了几小时」，答案就是 ${\log }_{2}N$：$N=8$ 时 $3$，$N=1024$ 时 $10$。$N$ 变，小时数跟着变，这就是一个函数 $y={\log }_{2}x$。

注意两件事：数量从 $1$ 涨到 $1024$，涨了一千多倍，小时数才从 $0$ 到 $10$，长得很慢；数量只能是正数。这一节就讲这个函数的样子和用法。

A。真数 $5-x>0⟹x<5$。选 C 的同学把「严格大于 0」错写成了「大于等于 0」：$x=5$ 时真数等于 $0$，$\lg 0$ 无意义！

B。${\log }_{a}1=0$，图象恒过 $(1,0)$。选 A 的同学混淆了指数函数（$y=a^x$ 过 $(0,1)$）。两者关于 $y=x$ 对称，横纵坐标正好颠倒！

B。$2={\log }_{3}9$，底数 $3>1$，方向不变：$x<9$；但必须追加真数大于 0：$x>0$，得 $0<x<9$。选 A 的同学漏了真数大于 0 下限！

A。横纵坐标对调：$(4,2)\to (2,4)$。验算：${\log }_{a}4=2⟹a^2=4⟹a=2$，代入指数函数 $2^2=4$，完全吻合！

A。真数 $x+2>0$，得 $x>-2$。底数 $0.5<1$；$x$ 变大时真数 $x+2$ 变大，对数值变小，所以递减。选 C 是解 $x+2>0$ 时符号弄反了；选 D 是忘了真数要大于 $0$。

A。用中间量 $0$ 和 $1$：$a={\log }_{3}0.5<{\log }_{3}1=0$；$0={\log }_{3}1<b={\log }_{3}2<{\log }_{3}3=1$；$c={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$。所以 $a<0<b<1<c$。

B。「真数」这一条：${\log }_2(x^2)$ 只要 $x^2>0$，即 $x\ne 0$；$2{\log }_{2}x$ 要 $x>0$。定义域一个是 $\{x\mid x\ne 0\}$，一个是 $(0,+\infty )$，不是同一个函数。

比如 $x=-2$：${\log }_{2}4=2$ 有意义，$2{\log }_2(-2)$ 没意义。法则 ${\log }_a{M}^r=r{\log }_{a}M$ 要求 $M>0$；$x$ 可能是负数时，只能写成 ${\log }_2(x^2)=2{\log }_2|x|$。

A。「同底才能用单调性」这一条：单调性说的是同一个底下 $x$ 变大时 $y$ 怎么变，这里底数变了，函数都换了。

找中间量 $2$：${\log }_{2}5>{\log }_{2}4=2$，${\log }_{3}5<{\log }_{3}9=2$。所以 ${\log }_{2}5>2>{\log }_{3}5$。

在「动手」的图里也看得出：$x>1$ 时底数越大，图象越贴近 $x$ 轴，同一个 $x=5$ 处的值越小。

C。「底和 1 比」这一条：$-1={\log }_{\frac{1}{2}}2$，不等式是 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}2$。底数 $\frac{1}{2}$ 在 $0$ 和 $1$ 之间，函数递减，去掉 $\log$ 时不等号反向：$x-1<2$。忘了反向就得到 A。

再加上真数 $x-1>0$，得 $1<x<3$。只反向、忘了真数，就得到 B——比如 $x=0$ 时 ${\log }_{\frac{1}{2}}(-1)$ 根本没有意义。

C。底数里有字母，分两种情况。把 $1$ 写成 ${\log }_{a}a$：

$a>1$：递增，要 $\frac{2}{3}<a$，而 $a>1$ 时这总成立（其实这时 ${\log }_a\frac{2}{3}<0<1$），所以 $a>1$ 都行。

$0<a<1$：递减，不等号反向，要 $\frac{2}{3}>a$，即 $0<a<\frac{2}{3}$。

两种合起来是 C。只算了一种情况就会得到 A 或 B；D 是在 $0<a<1$ 时忘了反向。