4.2 指数函数

每折一次，层数乘 $2$：$2,4,8,16,32$。折 $5$ 次是 $2^5=32$ 层，选 D。

折 $x$ 次就是 $2^x$ 层，这里 $x$ 只能取非负整数。这里次数 $x$ 在指数上：$x$ 每加 $1$，层数就乘同一个数 $2$。

把整数点的倍增规律按4.1的实指数推广后，才得到定义在全体实数上的函数 $y=a^x$。负数或非整数输入不再表示真实折纸次数。这一节讲这种推广函数：它长什么样，底数 $a$ 大于 $1$ 和小于 $1$ 有什么不同，怎么用它比大小、解不等式。

B。$2a-1>0⟹a>\frac{1}{2}$；且 $2a-1\ne 1⟹a\ne 1$。选 A 的同学漏了「底数不等于 $1$」：$a=1$ 时 $y=1^x\equiv 1$，失去指数变化特性。

A。底数 $\frac{1}{2}<1$，函数单调递减，最大值在左端点：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$。选 B 的同学去算了右端点 $x=2$，算出的 $\frac{1}{4}$ 是最小值。

A。拿 $1$ 当中间量：$1.7^{0.3}>1.7^0=1$，$0.9^{3.1}<0.9^0=1$，所以 $1.7^{0.3}>1>0.9^{3.1}$。

选 B 是拿「指数大的大」去比两个不同底的数，可它们不在同一条曲线上；选 C 是没想到找中间量 $1$。

A。先化成同底：$\frac{1}{4}=2^{-2}$，不等式是 $2^x\ge 2^{-2}$。底数 $2>1$，递增，不等号不变，$x\ge -2$。选 C 的同学把 $\frac{1}{4}$ 写成了 $2^2$；选 D 是直接把 $\frac{1}{4}$ 当成了指数。

C。不管 $a$ 是多少，$a^0=1$。让指数 $x-1=0$，即 $x=1$，这时 $y=1+2=3$。选 A 是照搬 $y=a^x$ 的定点；选 B 是忘了 $a^0$ 是 $1$ 不是 $0$。

答案 D：底数 $\frac{1}{3}$ 满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

A 底数是负数，$x=\frac{1}{2}$ 时就没有意义；B 底数是 1，$y$ 恒等于 1，被定义排除了；C 变量在底数上，不是指数函数。

有同学觉得「$\frac{1}{3}$ 小于 1，不像指数函数」——底数小于 1 完全可以，只是函数递减。

答案 B。底数 $\frac{1}{2}$ 在 $0$ 和 $1$ 之间，$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 是减函数：函数值大，自变量反而小。去掉底数时不等号要反过来，得 $x<3$。

选 A 是把所有指数函数都当成增函数了。验证一下：$x=0$ 时左边是 1，确实比 $\frac{1}{8}$ 大，而 $0<3$。

答案是 B。算一下：$2^{-2}=\frac{1}{4}$，$3^{-2}=\frac{1}{9}$，而 $\frac{1}{4}>\frac{1}{9}$。

「底数大，值就大」只在 $x>0$ 时对。指数是负数时，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，底数越大，分母越大，值反而越小。在「动手」②里把竖线拖到 $x=-2$ 就能看到：$y$ 轴左边两条曲线的上下正好反过来。

C。底数含字母，先分两种情况。

$a>1$：递增，最大 $a^2$、最小 $a$，$a^2-a=\frac{a}{2}$，得 $a=\frac{3}{2}$，满足 $a>1$。

$0<a<1$：递减，最大 $a$、最小 $a^2$，$a-a^2=\frac{a}{2}$，得 $a=\frac{1}{2}$，满足 $0<a<1$。

两个都对。选 A 的同学默认了 $a>1$，漏掉了递减的情况。