3.4 函数的应用（一）

B。前 $3$ 千米包在 $10$ 元里，多出来 $8-3=5$ 千米，每千米 $2$ 元，是 $10$ 元。合计 $10+10=20$ 元。

你刚才其实写了一个函数：路程 $x$ 千米（$x>3$）时，车费 $y=10+2(x-3)$ 元。已乘车且 $0<x\le 3$ 千米时 $y=10$。路程一变，车费跟着变，规则分两段。

这一节就讲这件事：把生活里的规则写成函数，再用函数的性质回答「要付多少」「什么时候最省」「最大能到多少」。写的时候要多想一步：$x$ 能取哪些值、单位是什么、算出来的数合不合实际。

B。$72$ km/h $=\frac{72000\text{ 米}}{3600\text{ 秒}}=20$ 米/秒，所以 $s=20t$（$t\ge 0$）。选 A 的同学没换算单位；C 是「千米/分钟」的数；D 把除以 $3.6$ 做成了乘以 $3.6$。

A。每件赚 $x-40$ 元，利润 $y=(x-40)(100-x)=-(x-70{)}^2+900$。顶点 $x=70$ 在 $[50,80]$ 里，最大利润 $900$ 元，售价 $70$ 元。选 B 的同学用了「售价 $\times$ 销量」，那是收入，忘了减进价；选 C 答的是售价，不是利润。

回头看：若售价上限改为 $65$ 元，先自己判断：还能用顶点值作答案吗？

核对变式：函数没变，范围变了

顶点 $70$ 不在 $[50,65]$ 内；利润在这个区间递增，故售价 $65$ 元时最大，利润为 $(65-40)(100-65)=875$ 元。和菜园题一样，方法可以迁移，顶点能否取到必须重查。

B。前 $10$ 吨 $10\times 3=30$ 元，多出的 $4$ 吨 $4\times 5=20$ 元，合计 $50$ 元。选 A 全按 $3$ 元算，选 C 全按 $5$ 元算，都没分段；选 D 是 $14\times 3+4\times 5$，把多出的 $4$ 吨算了两次。

B。另一边 $\frac{16}{x}$ 米，周长 $L=2\left(x+\frac{16}{x}\right)\ge 2\times 2\sqrt{16}=16$，$x=4$（正方形）时取到。选 A 的同学算的是 $x+\frac{16}{x}$ 的最小值，忘了周长要乘 $2$；选 D 答的是边长。

B。去 $x$ 次，不办卡花 $y=30x$ 元。办卡更省要 $30x>600$，$x>20$；次数是整数，至少 $21$ 次。去 $20$ 次时两种一样都是 $600$ 元，谈不上「更省」，所以不选 A。

A。垂直于河岸的两边各 $x$ 米，另一边 $40-2x$ 米，$0<x<20$。$S=x(40-2x)=-2(x-10{)}^2+200$，顶点 $x=10$ 在定义域里，最大 $200$ 平方米（这时平行河岸的一边 $20$ 米）。选 B 的同学把三边当成两边，写成了 $x(40-x)$。

复盘迁移：仍用“一变量建模、定范围、查顶点”的计划；河岸足够长，少了墙长限制，所以顶点可以取到。迁移时保留思路，重新列本题的条件。

B。设垂直于墙的两边各长 $x$ 米，平行于墙的一边长 $24-2x$ 米，面积 $S=x(24-2x)=-2x^2+24x$。

选 A 的同学直接取了顶点 $x=6$：这时平行于墙的边长 $24-12=12$ 米，可墙只有 $10$ 米，围不出来。实际要求 $0<24-2x\le 10$，也就是 $7\le x<12$。在这一段上抛物线一直往下走，所以最大值在 $x=7$ 处：$S=7\times 10=70$。在「动手」②里点「墙长 10 米」看看。

对应边界：定义域按实际定。顶点不在定义域里，最大值就不在顶点。

B。顶点横坐标 $x=\frac{27}{4}=6.75$，可台数只能是整数，A 不合实际意义。离顶点最近的两个整数是 $6$ 和 $7$，都代进去算：$x=6$ 时 $y=60$，$x=7$ 时 $y=61$。所以 $7$ 台，最大月利润 $61$ 万元。

对应边界：该是整数的回到整数。定义域是正整数，不是一段区间。

C。先判断在哪一段：用满 $200$ 度是 $100$ 元，用满 $400$ 度是 $220$ 元，$100<148\le 220$，所以在第二段。$100+0.6(x-200)=148$，得 $x=280$。

A 是全按 $0.5$ 元算（$148÷0.5$），B 是全按 $0.6$ 元算，都忘了分段。拿 A 验一下：$296$ 度应交 $100+0.6\times 96=157.6$ 元，不是 $148$ 元。在「动手」①里把点拖到 $280$ 看看。

对应边界：分段反求先定段，再检验。解出的 $x$ 要落在这一段里。