1.5 全称量词与存在量词

第 1 步

从例子进入

全班 $40$ 人。班长对老师说：「我们班所有同学都交了作业。」老师不太信。点下面按钮或作业本帮老师抽查：

查到 3 号没交。哪怕其余 39 人都交了，「所有人都交了」也是假话：推翻「所有」只要一个反例。

想一想

老师要说明班长这句话不对，最少需要查到什么？

看答案与解析

答案：A

A。只要有一个人没交，「所有人都交了」就不成立。

所以「所有人都交了」的反面，不是「所有人都没交」，而是「有人没交」。「所有」变成了「有」，「交了」变成了「没交」。

这一节就讲这两类说法：「所有的都……」和「有一个……」。怎么判断它们的真假，怎么写出它们的反面（否定）。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词：从「判决规则与量词符号」建立直觉

要用到：集合和「属于」 $x \in M$ （回看 1.1）；命题和真假（回看 1.4）。先看下面这幅微图解：

全称量词 ∀：就算试了 100 个数都成立，只要有一个反例（比如 x₀），全称命题就是假的。

2. 量词命题的数学定义与真假判决表

八位同学可以逐个核对；面对全体实数，要用平方非负、配方等一般理由说明每个对象都满足，不能只试有限几个数。一真一假是核对否定的必要条件，并不足以证明写法正确：例如两个不同的真命题，都与同一个假命题一真一假，仍须按量词、范围和结论逐项否定。

命题类型	说它真（证明成立）	说它假（推翻命题）
全称命题 $\forall x \in M, p (x)$	必须说明每一个都满足（严格证明）	举出一个反例即可一票否决！
存在命题 $\exists x \in M, p (x)$	举出一个正例即可一票赞成！	必须说明每一个都不满足（全面排除）

想一想

自己试试：命题「 $\forall x \in R, ∣ x ∣ > 0$ 」是真是假？

看答案与解析

答案：B

B。 $x = 0$ 是反例。选 A 的同学只举了几个例子，全称命题要管到每一个；选 C 的同学把「不是负数」（ $\geq 0$ ）当成了「 $> 0$ 」，漏了 $0$ 。

3. 三步破题思维链：命题否定与双向真假校验

想一想

自己试试：命题 $p$ ：「 $\exists x \in R, x^{2} < x$ 」。下面判断正确的是？

看答案与解析

答案：B

是 B。「平方会变大」只对一部分数成立。取 $x = \frac{1}{2}$ ： $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ ，一个例子就说明 $p$ 真。

$\neg p$ 是「 $\forall x \in R, x^{2} \geq x$ 」，同一个 $x = \frac{1}{2}$ 就是它的反例，所以 $\neg p$ 假。选 A 的同学只试了 $x = 2, 3$ 这类数；C、D 一眼就能排除：否定和原命题永远一真一假。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

再深一点（可以先跳过）

常见说法的反面：「都是」→「不都是」（有的不是）；「至少有一个」→「一个也没有」；「至多有一个」→「至少有两个」。

两个量词：本节只要求一个量词。遇到「 $\forall x, \exists n$ ……」这种两个量词连在一起的，从左往右每个量词都换一次，最后结论取反： $\neg (\forall x \exists n, p)$ 是 $\exists x \forall n, \neg p$ 。真题里有一道，选做。

藏起来的量词：「若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ 」对任意 $a, b$ 都要成立才算真，所以举一个反例（ $a = 1$ ， $b = - 2$ ）就能说明它是假的。真题里「能说明……是假命题的一组值」就是在要反例。

第 3 步

动手

自己搭一个命题：选量词、函数和符号，拖区间端点 $a, b$ 和横线 $c$ 。下面会一步步写出它的否定，并且算出两边谁真谁假。

试试：①「∀ x², ≥」把 $c$ 从 0 往上拖一点，看原命题什么时候变假；② 换成「∃ x² − 2x, =」，把 $c$ 拖到 $- 1$ 下面；③ 无论怎么拖，看下面那行「恰好一个为真」会不会被打破。

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

下面哪个是真命题？

看答案与解析

答案：A

A。 $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ ，每个 $x$ 都满足。B： $x^{2} + 1 \geq 1$ ，没有一个 $x$ 让它等于 $0$ ；C：绝对值不会是负数；D： $x = - 1$ 是反例。B、C 是存在命题，说它假要排除每一个，不能只试一两个数就下结论。

想一想

命题「有的实数的绝对值是正数」的否定是？

看答案与解析

答案：A

A。「有的」换成「所有」，「是正数」变成「不是正数」。B 只改了结论，C 只改了量词。检验：原命题真（ $∣1∣ = 1$ ），A 假（同一个 $x = 1$ 是反例），一真一假。

易错

想一想

命题「对任意实数 $x$ ，都有 $x^{2} > 0$ 」的否定是？

看答案与解析

答案：B

是 B。A 还留着「任意」：原命题假（ $x = 0$ ），A 也假（ $x = 1$ ），两个都假，不是否定。C 没把结论取反。D 把「 $>$ 」的反面写成了「 $<$ 」，漏了 $x^{2} = 0$ ：原命题假，D 也假。

B 是真的（ $x = 0$ ），和原命题正好一真一假。

想一想

命题「 $\exists x \in R, x + 1 \leq 0$ 」的否定是？

看答案与解析

答案：C

是 C。A 只换了量词，忘了否定结论；B 只否定了结论，忘了换量词。两处都要改。

D 也错： $\leq$ 的反面是 $>$ ，不是 $\geq$ 。比如 $x = - 1$ 时 $x + 1 = 0$ ，既满足 $\leq 0$ 又满足 $\geq 0$ ，两边就「撞车」了。

检验一下：原命题真（ $x = - 1$ ），C 假（同一个 $x = - 1$ 就是反例），一真一假。

想一想

命题「 $\forall x > 1, x^{2} > 1$ 」的否定是？

看答案与解析

答案：B

是 B。「 $x > 1$ 」是讨论范围，不是结论。否定时还在 $x > 1$ 里找，范围照抄。

A 把范围也否定了。看看真假就知道不对：原命题是真的（大于 1 的数平方也大于 1），而 A 也是真的（取 $x = 0$ ）。两个都真，A 不可能是否定。B 是假的，正好一真一假。

挑战

想一想

命题「 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + a = 0$ 」是假命题，实数 $a$ 的取值范围是？

看答案与解析

答案：A

A。存在命题是假的，等于它的否定「 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + a \neq = 0$ 」是真的：每一个 $x$ 都不让它等于 $0$ 。

配方： $x^{2} + 2 x + a = (x + 1)^{2} + a - 1$ ，最小是 $a - 1$ （在 $x = - 1$ 处），往上什么值都能取到。要它永远不等于 $0$ ，只能 $a - 1 > 0$ ，即 $a > 1$ 。

选 B 的同学多算了 $a = 1$ ：这时 $x = - 1$ 让式子等于 $0$ ，原命题是真的。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2014 安徽卷（文科）第 2 题 · 单选

命题“ $\forall x \in R, ∣ x ∣ + x^{2} \geq 0$ ”的否定是（　）。

看答案与解析

答案：C

先按量词与不等式的规则构造否定，再单独判断该命题的真假。

改变外层量词，保留实数定义域

原命题是 $\forall x \in R, P (x)$ ，其中 $P (x)$ 表示 $∣ x ∣ + x^{2} \geq 0$ 。否定“每个实数都满足”，应写成“存在一个实数不满足”，即 $\exists x_{0} \in R, \neg P (x_{0})$ 。定义域仍是实数集。

否定非严格不等式

$∣ x_{0} ∣ + x_{0}^{2} \geq 0$ 的否定是 $∣ x_{0} ∣ + x_{0}^{2} < 0$ ，所以完整否定为 $\exists x_{0} \in R, ∣ x_{0} ∣ + x_{0}^{2} < 0$ ，故选 C。等号必须随“≥”一同被排除。

区分正确否定式与它的真假

对任意实数x，绝对值与平方都非负，故原命题确实为真；其否定式C为假。这并不影响C是原命题的正确否定。题目要求写出逻辑否定，没有要求选一个真命题。

否定全称命题时，定义域不变，全称量词变为存在量词，内部谓词也必须同时取反。

2024 新课标Ⅱ卷第 2 题 · 单选

已知命题 $p : \forall x \in R, ∣ x + 1∣ > 1$ ；命题 $q : \exists x > 0, x^{3} = x$ ，则（　）。

看答案与解析

答案：B

全称命题找反例，存在命题找一个满足条件的数。

判断 p

取 $x = - 1$ ，则 $∣ x + 1∣ = 0$ ，不满足大于1。因此 p 为假， $\neg p$ 为真。

判断 q

取 $x = 1 > 0$ ，满足 $x^{3} = x$ 。所以 q 为真。

匹配选项

因此“非 p”和 q 都为真，选 B。

全称与存在命题采用不同的验证方式，否定时量词和谓词都要改变。