1.4 充分条件与必要条件

A。杭州整个在浙江里面，人在杭州，就一定在浙江。

反过来不一定：在宁波的人也在浙江，却不在杭州。像「在宁波的人」这样，说明一句话不成立的具体例子，叫反例。

数学上这样说：「在杭州」足够保证「在浙江」，所以「在杭州」是「在浙江」的充分条件；想在杭州，「在浙江」少不了，所以「在浙江」是「在杭州」的必要条件。这一节就讲：两个条件之间，谁能推出谁，怎么说，怎么查。

B。正方形 $\Rightarrow$ 矩形，箭头后面的「矩形」是必要条件：想当正方形，先得是矩形。选 A 的同学看到「是矩形」写在问句前面，就当成了充分条件。先找出谁推谁，再看问的是哪一个。

A。$x=1\Rightarrow x^2=1$，成立；反过来 $x=-1$ 也满足 $x^2=1$，却不是 $1$，是反例，推不出。选 C 的同学只查了一个方向，或者忘了 $x=-1$。

A。$\{x\mid x>2\}⫋\{x\mid x>1\}$：$x>2$ 那一段整个在 $x>1$ 那一段里面，是小的那段，小推大成立；反过来，$x=1.5$ 满足 $x>1$、不满足 $x>2$，是反例。

选 B 的同学常这样想：「$2$ 比 $1$ 大，所以 $x>2$ 管的范围更大」。正好反了：要求越严（范围越小）的那个，越容易当充分条件。

B。$x=y\Rightarrow x^2=y^2$，所以 $x^2=y^2$ 是必要条件；反过来 $x=1$，$y=-1$ 时 $x^2=y^2=1$，可 $x\ne y$，推不出。选 C 的同学把「平方相等」当成「本身相等」，忘了还可能 $x=-y$。

A。$a=0$ 时 $ab=0\times b=0$，成立；反过来 $a=1$，$b=0$ 时 $ab=0$，可 $a\ne 0$，是反例。选 C 的同学忘了 $ab=0$ 也可能是 $b=0$。

B。$x=2\Rightarrow |x|=2$；反过来 $x=-2$ 时 $|x|=2$，却不是 $2$，推不出。问的是「$|x|=2$」：它被推出，是必要条件，不充分。选 A 的同学把方向看反了。

只有 $x=3\Rightarrow x^2=9$ 成立（反过来 $x=-3$ 是反例）。

C 说「$x^2=9$ 的充分条件是 $x=3$」，等于说「$x=3$ 是 $x^2=9$ 的充分条件」，就是 $x=3\Rightarrow x^2=9$，对。

A 和 B 其实是同一句话，都在说 $x^2=9\Rightarrow x=3$，错；D 也在说 $x^2=9\Rightarrow x=3$，错。换个说法、换个语序，先还原成「若……则……」再判断。

答案 C。很多同学条件反射选 B，因为记得「$x=-2$ 是反例」。

但题目已经限定 $x>0$，$-2$ 根本不在考虑范围里。在 $x>0$ 时，$x^2>1$ 和 $x>1$ 能互相推出，是充要条件。

用集合比大小之前，先看清变量和范围：范围变了，集合变了，结论也会变。

答案 B。试几个数只是举例，不是证明。

$x>1$ 时 $x^2>1$，两边乘正数 $x$ 得 $x^3>x$，前推后成立（这是对所有 $x>1$ 的说明）。

反过来，取 $x=-\frac{1}{2}$：$x^3=-\frac{1}{8}>-\frac{1}{2}$，满足 $x^3>x$，却不满足 $x>1$。一个反例就说明推不出。所以「$x>1$」是「$x^3>x$」的充分不必要条件。

A。充分不必要就是 $P⫋Q$，$P=\{x\mid x>a\}$，$Q=\{x\mid x>2\}$。

$P\subseteq Q$ 要 $a\ge 2$：比如 $a=1$ 时 $x=1.5$ 在 $P$ 里、不在 $Q$ 里。可 $a=2$ 时 $P=Q$，是充要条件，不是「不必要」，要去掉。所以 $a>2$。选 B 的同学没单独查端点 $a=2$。