1.1 集合的概念

B。学号 $2,4,6,8,10$，一共 $5$ 位。

老师这句话把「谁去」说得清清楚楚：报任何一个学号，都能马上答出他去不去——$7$ 号不去，$8$ 号去。

这样一群说得清的对象，看成一个整体，就是这一节要讲的集合。同一群人还有两种说法：一个个点名「$2,4,6,8,10$ 号」，或者讲规则「$1$ 到 $10$ 号里的双数」。这正是集合的两种写法。

B，就是 $\{1,2,3,4\}$。A 和 C 都说不清：多高算高？多近算近？$0.001$ 算接近，$0.1$ 算不算？给一个对象判断不了在不在，就不「确定」。常见的错是觉得 C 也行——「接近」听起来像数学词，其实没给标准。

B，是 $\{0,1,2,3\}$。选 A 的同学漏了 $0$：$\mathbf{N}$ 含 $0$。选 C 是把 $4$ 也算进去了，可条件是 $x<4$，不含 $4$。

A。元素是两个点 $(1,2)$ 和 $(3,4)$。选 B 的同学把每个点里的两个数拆开来数了：一个点不管写几个数，只是一个元素。

B。左边：$x$ 是整数；右边：$-1\le x<3$。$-1$ 能取（带等号），$3$ 不能取（不带等号）。选 A 的同学漏了 $-1$：负整数也是整数。选 C 的同学多写了 $3$。

C。$-3$ 是整数。A：${\mathbf{N}}^{\ast }$ 是正整数，$0$ 不是正数；B：$\sqrt{2}$ 是无理数，不在 $\mathbf{Q}$ 里；D：$\frac{1}{2}$ 不是整数。

C，是 $\{l,e,t,r\}$。

选 6 的同学是在数「字母出现了几次」。可集合只关心「谁在里面」：$e$ 和 $t$ 各出现两次，也只算一个元素——互不相同。顺序也不重要，写成 $\{r,t,e,l\}$ 还是同一个集合。

B。$\{(1,2)\}$ 的元素是一个点 $(1,2)$，只有 1 个元素；$\{1,2\}$ 的元素是两个数。比较集合前，先弄清元素是数还是点。

$a<0$ 时，没有实数的平方等于 $a$，集合里一个元素都没有。A 默认了 $\sqrt{a}$ 存在；C 把「没有元素」当成了 $\{0\}$，可 $0^2=0\ne a$，0 根本不在里面。有参数时，先想清楚集合会不会是空的。

B。$\{1,a,a^2-a\}$ 含有 3 个元素，说明这三个式子的值必须互不相同。

$2\in A$，要么 $a=2$，要么 $a^2-a=2$（解得 $a=2$ 或 $a=-1$）。

• 若 $a=2$，则 $a=2$ 且 $a^2-a=2$，集合退化为 $\{1,2\}$ 只有 2 个元素，与题设「含有 3 个元素」矛盾，舍去；

• 若 $a=-1$，集合为 $\{1,-1,2\}$，三个元素互不相同，符合题意。因此只有 $a=-1$。

【核心经验】：解出含参集合的参数后，必须代回原集合核验互异性！