1.2 集合间的基本关系

A。周一、周三、周五都是工作日，$A$ 里的每一个都在 $B$ 里。周二、周四在 $B$ 里却不在 $A$ 里，所以 B、C 不对。

「$A$ 里的每一个，$B$ 里都有」，就叫 $A$ 是 $B$ 的子集。$B$ 还比 $A$ 多出几天，叫真子集；两个集合元素完全一样，叫相等。

这一节就讲两个集合之间的这几种关系，外加一个特别的集合：一个元素都没有的空集。

B。$6$ 的正因数是 $1,2,3,6$，都在 $B$ 里。A 有 $0$，C 有 $8$，都不在 $B$ 里。选 D 的同学忘了自然数包括 $0$：小于 $7$ 的自然数是 $0,1,\dots ,6$，$0$ 就是那个反例。

A。小于 $4$ 的正整数是 $1,2,3$，和 $\{3,1,2\}$ 元素一样，只是顺序不同，顺序不影响相等。选 C 的同学多半把 $0$ 也算成了正整数；$0$ 不是正数。

B。子集 $2^4=16$ 个，去掉集合自己，真子集 $15$ 个。选 A 的同学没去掉自己；选 C 的同学连 $\varnothing$ 也去掉了，可 $\varnothing$ 是 $\{1,2,3,4\}$ 的真子集，$14$ 是「非空真子集」的个数。

B。右端 $5$ 重合，两边都实心，可以。选 A 的同学最多：$1$ 在 A 里（实心），可 $B$ 的 $1$ 是空心，$1\notin B$。C 有 $0.5$，D 有 $6$，都跑到 $B$ 外面了。

C，$2^3=8$ 个：$\varnothing$，$\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$，$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{2,3\}$，$\{1,2,3\}$。

选 6 的同学漏了两头：一个都不挑（$\varnothing$）和全挑（集合自己）。选 7 的多半只漏了其中一个。

B。$A$ 里的数都比 $2$ 小，当然比 $3$ 小，所以 $A\subseteq B$；$B$ 里的 $-5$、$2.5$ 不在 $A$ 里，所以是真子集。选 C 的同学看见 $A$ 两头都有端点，以为它「多」；画到数轴上，$B$ 往左一直延伸，比 $A$ 长得多。

A 错：空集里一个元素都没有，$0$ 当然不在里面。B 错：$\{0\}$ 有一个元素 $0$，空集没有，不相等。D 错：$0$ 是元素，元素和集合之间只能用 $\in$，应写 $0\in \{0\}$。

C 对：空集是任何集合的子集；$\{0\}$ 非空，比空集多出一个 $0$，所以是真子集。

先列不等式 $a\ge 0$、$a+2\le 5$，再把两个等号单独代回去查：

$a=0$ 时 $A=\{x\mid 0<x<2\}$：A 的左端空心，$0$ 不在 A 里，没问题，所以 $a=0$ 可以。

$a=3$ 时 $A=\{x\mid 3<x<5\}$：A 的右端空心，$5$ 不在 A 里，B 不含 5 也没关系，所以 $a=3$ 也可以。

答案 $0\le a\le 3$。端点要不要，不靠感觉，代进去看「A 有没有一个元素跑到 B 外面」。可以在「动手」②的数轴上摆出来验证。

很多人选 A：直接写 $m+1>-1$、$2m-1<4$、$m+1\le 2m-1$。这就默认了 A 里面有元素。

情况一：$A=\varnothing$。左端比右端大：$m+1>2m-1$，即 $m<2$。空集是任何集合的子集，这些 $m$ 全都满足。

情况二：$A\ne \varnothing$。$m\ge 2$，并且 $m+1>-1$、$2m-1<4$，得 $2\le m<\frac{5}{2}$。（$m=\frac{5}{2}$ 时 $4\in A$ 但 $4\notin B$，不行。）

两种情况合起来：$m<\frac{5}{2}$。选 D 的同学是把 $m>-2$ 当成了必须满足的条件，但 $m<2$ 时 A 已经是空集，根本不用管它的端点。

B。先把 $A$ 写清楚：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$，$A=\{1,2\}$。

$a=0$ 时，$0\cdot x=1$ 无解，$B=\varnothing$，空集是子集，满足。

$a\ne 0$ 时，$B=\left\{\frac{1}{a}\right\}$，要 $\frac{1}{a}\in A$：$\frac{1}{a}=1$ 得 $a=1$；$\frac{1}{a}=2$ 得 $a=\frac{1}{2}$。

所以 $a\in \left\{0,1,\frac{1}{2}\right\}$。选 A 的同学漏了 $B$ 为空集的情况；选 C、D 是把 $x$ 的值当成了 $a$ 的值。