1.3 集合的基本运算

第 1 步

从例子进入

班里有两个兴趣小组。篮球组：小明、小红、小刚、小丽；合唱组：小红、小丽、小强。点下面的按钮切换查看不同集合：

两个组都参加（交集 A∩B）：在两圈重叠区的小红、小丽，共 2 人。

想一想

两个组都参加了的是谁？

看答案与解析

答案：A

A。两张名单里都出现的只有小红和小丽。

换几个问法：「至少参加一个组的」是小明、小红、小刚、小丽、小强，共 $5$ 人——小红、小丽在两张名单上，人只算一次；「没参加篮球组的」要先说清在哪群人里找：在全班找，就是全班去掉篮球组那 $4$ 人。

这三种问法，就是这一节的三种运算：交集（都在）、并集（至少在一个里）、补集（在大范围里、但不在它里面）。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词：从「文氏图三色彩灯」建立直觉

要用到：集合、元素、 $\in$ （回看 1.1）；子集 $\subseteq$ 、空集 $\emptyset$ （回看 1.2）；初中在数轴上表示不等式。先看下面这幅微图解：

2. 核心三大运算定义与等价包含链

想一想

自己试试： $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {2, 3, 5, 8}$ 。 $A \cup B$ 有几个元素？

看答案与解析

答案：B

B。 $A \cup B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}$ ， $6$ 个。选 C 的同学把 $3$ 、 $5$ 数了两次；选 D 的同学数的是交集 ${3, 5}$ 。

想一想

自己试试： $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ， $A = {2, 4, 6}$ ， $B = {1, 2, 3}$ 。 $(∁_{U} A) \cap B =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。先算 $∁_{U} A = {1, 3, 5, 7}$ ，再和 $B = {1, 2, 3}$ 取公共的： ${1, 3}$ 。选 B 的同学算完补集就停了，忘了「 $\cap B$ 」；选 C 算成了 $A \cap B$ 。

3. 数轴上的交、并、补：端点实心空心穿透法则

例 3（示范：跟老师走一遍思考过程）

设全集为 $R$ ， $A = {x ∣ - 1 \leq x < 3}$ ， $B = {x ∣ 1 < x \leq 5}$ 。求 $A \cap B$ 、 $A \cup B$ 和 $∁_{R} A$ 。

第一眼看交集重叠区：重叠段在 $1$ 到 $3$ 之间。看两端：端点 $1$ 在 $B$ 中是空心，交集直接判空心；端点 $3$ 在 $A$ 中也是空心。故 $A \cap B = {x ∣ 1 < x < 3}$ 。
第二步看并集覆盖区：从最左端 $- 1$ （实心）一路连通覆盖到最右端 $5$ （实心）。虽然 $3$ 不在 $A$ 中，但 $B$ 包含它（ $3 \in B$ ），直接填补铺满！故 $A \cup B = {x ∣ - 1 \leq x \leq 5}$ 。
第三步挖洞算补集（实变空、空变实）：全集 $R$ 挖去 $A$ ：左侧从 $- 1$ 往左，因为 $- 1 \in A$ 被挖走，补集变成空心（ $x < - 1$ ）；右侧从 $3$ 往右，因为 $3 \in / A$ 未被挖走，留在补集里变成实心（ $x \geq 3$ ）！故 $∁_{R} A = {x ∣ x < - 1 或 x \geq 3}$ 。

想一想

自己试试： $A = {x ∣ x \leq 2}$ ，全集 $R$ 。 $∁_{R} A =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。 $2$ 在 $A$ 里，补集就不能再要它。选 B 的同学把「反过来」只改了方向，没管端点：那样 $2$ 同时在 $A$ 和补集里，不可能。

想一想

自己试试：已知 $A \cup B = B$ 。下面哪句一定对？

看答案与解析

答案：B

B。把 $A$ 并进来， $B$ 一点没变，说明 $A$ 的元素本来就都在 $B$ 里。不一定相等：上面的 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ 就满足。在「动手」① 的 Venn 图里，把所有 A 的数都改成「两个都在」，再看 $A \cup B$ 和 $B$ 。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

再深一点（可以先跳过）

德·摩根定律（反演律）： $∁_{U} (A \cup B) = ∁_{U} A \cap ∁_{U} B$ ， $∁_{U} (A \cap B) = ∁_{U} A \cup ∁_{U} B$ 。

容斥原理：有限集合中， $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ 。入口的例子： $4 + 3 - 2 = 5$ 人。

先看元素是什么： ${(x, y) ∣ y = x} \cap {(x, y) ∣ y = 2 - x}$ 的元素是点，交集是 ${(1, 1)}$ ，不能写成 ${1}$ 。

第 3 步

动手

① Venn 图：点数字，把它放进 A、B

全集 $U = {1, 2, \dots, 12}$ 。点一个数字，它会在「都不在 → 只在 A → 只在 B → 两个都在」之间切换。再点上面的运算，看哪些数被选中。

② 进阶：数轴上拖端点，看交、并、补

拖动圆点（或选中后按方向键）改端点；点端点下面的按钮（或选中圆点按空格）切换「取到 ● / 取不到 ○」。全集是全体实数 $R$ 。试试让两段只在一个端点处相碰，再切换这个端点。

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

$A$ 是小于 $10$ 的正奇数组成的集合， $B = {3, 6, 9}$ 。 $A \cap B =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。先把 $A$ 列出来： $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ 。和 $B$ 都有的是 $3$ 、 $9$ 。选 C 的同学把 $6$ 也算进去了，可 $6$ 不是奇数；D 是并集。

想一想

$A = {x ∣ - 2 < x \leq 3}$ ， $B = {x ∣ x > 1}$ 。 $A \cup B =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。画数轴： $A$ 从 $- 2$ 盖到 $3$ ， $B$ 从 $1$ 往右一直盖下去，合起来是 $- 2$ 右边的全部。 $- 2$ 两个集合都不含，取不到。B 是交集；C 把端点 $- 2$ 算进去了；D 漏了 $3$ 右边那一段。

易错

想一想

$A = {x ∣ x < 2}$ ， $B = {x ∣ x \geq 1}$ 。 $A \cap B$ 是什么？

看答案与解析

答案：B

B（端点）。这里的 $x$ 没说是整数，所以 $1$ 和 $2$ 之间的 $1.5$ 、 $1.99$ 都在两个集合里。

选 A 或 C 的同学，是把它们当成了整数；选 D 的同学，是看到符号方向相反就以为没有交集。画一条数轴，两段一叠就看出来了：左端 $1$ 取到（ $\geq$ ），右端 $2$ 取不到（ $<$ ）。

想一想

$A = {x ∣ x < 2}$ 。如果全集 $U = Z$ （全体整数）， $∁_{U} A$ 是什么？

看答案与解析

答案：C

C（全集）。补集只能在全集里找。全集是整数，补集里就只有整数，是 ${x \in Z ∣ x \geq 2}$ 。A 是 $U = R$ 时的答案；B 把端点 $2$ 弄丢了： $A$ 取不到 $2$ ，补集就取到 $2$ 。

想一想

$A = {1, 3}$ ， $B = {2, 4}$ 。 $A \cap B$ 应该写成？

看答案与解析

答案：A

A（空集）。没有公共元素，交集就是空集 $\emptyset$ 。 ${0}$ 有一个元素 $0$ ； ${\emptyset}$ 有一个元素（这个元素是空集）； $0$ 是数，不是集合。

挑战

想一想

$B = {x ∣ 1 \leq x \leq 4}$ ， $A = {x ∣ m \leq x \leq 2 m}$ ，且 $A \cap B = A$ 。 $m$ 的取值范围是？

看答案与解析

答案：B

B。 $A \cap B = A$ 就是 $A \subseteq B$ 。带字母，先想空集：

$m > 2 m$ ，即 $m < 0$ 时， $A = \emptyset$ ，空集是 $B$ 的子集，满足。

$m \geq 0$ 时 $A$ 不空，要整段落在 $[1, 4]$ 里： $m \geq 1$ 且 $2 m \leq 4$ ，得 $1 \leq m \leq 2$ 。（ $m = 0$ 时 $A = {0}$ ， $0$ 不在 $B$ 里，不行。）

合起来是 B。选 A 的同学漏了空集；选 C、D 的同学没检查 $0 \leq m < 1$ ：比如 $m = 0.5$ ， $A = {x ∣ 0.5 \leq x \leq 1}$ ， $0.5$ 不在 $B$ 里。

第 5 步

高考真题

选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2024 北京卷第 1 题 · 单选

已知集合 $M = {x ∣ - 4 < x \leq 1}$ ， $N = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $M \cup N =$ （　）。

看答案与解析

答案：A

并集收集至少属于一个集合的所有实数。

写成区间

$M = (- 4, 1]$ ， $N = (- 1, 3)$ 。两区间在 $(- 1, 1]$ 上相交。

合并覆盖范围

合并后从 -4 延伸到 3，中间没有空隙；两端 -4、3 都不属于任一个集合。

给出结果

因此 $M \cup N = (- 4, 3)$ ，选 A。

求区间并集先看是否连接，再逐端点判断是否包含。

2024 新课标Ⅰ卷第 1 题 · 单选

已知集合 $A = {x ∣ - 5 < x^{3} < 5}$ ， $B = {- 3, - 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （　）。

看答案与解析

答案：A

B 只有5个数，直接代入 x^3 最稳妥。

检验负数

$(- 3)^{3} = - 27$ 不在 $(- 5, 5)$ ； $(- 1)^{3} = - 1$ 在该范围内。

检验其余元素

$0^{3} = 0$ 符合； $2^{3} = 8$ 、 $3^{3} = 27$ 均不符合。

汇总公共元素

只有 −1 和0同时属于两集合，故 $A \cap B = {- 1, 0}$ ，选 A。

有限集合求交集可用逐项代入进行可靠核查。

2025 北京卷第 1 题 · 单选

集合 $M = {x ∣ 2 x - 1 > 5}$ ， $N = {1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （　）。

看答案与解析

答案：D

先解出集合 M 的成员条件，再检验 N 中的三个数。

化简条件

由 $2 x - 1 > 5$ 得 $2 x > 6$ ，即 $x > 3$ 。所以 $M = (3, + \infty)$ 。

逐项检查

$N$ 的元素 1、2、3 都不满足 $x > 3$ ，因此没有公共元素。

确定选项

$M \cap N = \emptyset$ ，选 D。

求交集时，每个元素必须同时满足两组条件。

2025 新高考Ⅰ卷第 2 题 · 单选

设全集 $U = {x ∣ x 是小于 9 的正整数}$ ，集合 $A = {1, 3, 5}$ ，则 $∁_{U} A$ 中元素个数为（　）。

看答案与解析

答案：C

先确定全集有多少个元素，补集只在这个全集内取。

列出全集

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，共8个元素。0不是正整数，9不满足小于9。

求补集

除去 $A$ 中的1、3、5，得到 $∁_{U} A = {2, 4, 6, 7, 8}$ 。

计数

补集共有5个元素，选 C。

补集必须先固定全集。

2026 新高考Ⅱ卷第 3 题 · 单选

已知集合 $A = {0, 1, 3, 6, 9}$ ， $B = {x ∣ x = x}$ ，则 $A \cap B =$

看答案与解析

答案：A

先求 B 的元素，不能把集合描述式当作单个数。

确定 B

由 $x = x$ 知 $x \geq 0$ 。平方得 $x = x^{2}$ ，即 $x (x - 1) = 0$ ，候选为 0、1，代回原式均成立。因此 $B = {0, 1}$ 。

求交集

0、1 都属于 A，故 $A \cap B = {0, 1}$ ，选 A。

先把描述法集合变成明确的元素，再做交集。