2.1 等式性质与不等式性质

A。$185-180=5$：两个人都加了 $20$，差一点没变，谁高谁矮也不变。

比大小，其实就是看差：差是正的，前一个大。这一节先学会「看差」，再用它检查：两边同加、同乘、平方、取倒数以后，大小关系还在不在。加法像站台阶一样安全；别的操作，有时会把方向反过来。

B。作差：$a^2+1-2a=(a-1{)}^2\ge 0$，$a=1$ 时差是 $0$。选 A 的同学把「平方 $\ge 0$」当成了「平方 $>0$」：$a=1$ 时 $2=2$，不是严格大于。

B。乘 $-2$ 要变向：$-2a<-2b$，再加 $5$：$5-2a<5-2b$。选 A 的同学乘了负数却忘了变向。

A。$-2<-b<-1$，加上 $3<a<6$：$1<a-b<5$。选 B 的同学「下限减下限、上限减上限」：$3-1=2$，$6-2=4$。可 $a=5.9$，$b=1.1$ 时 $a-b=4.8$，已经超过 $4$。

答案 C。作差：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，分子 $b-a<0$。$ab>0$ 时整个差是负的，$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；$ab<0$ 时结论反过来。

B 的反例：$a=2,b=-1$，$a>0$，可 $\frac{1}{2}>-1$。「大数的倒数小」只在两个数同号时才对。

B。作差：$(x^2+4x+3)-(x^2+4x+4)=-1<0$，不管 $x$ 是多少，前者总比后者小 $1$。选 D 的同学没算差就猜了：式子里有 $x$，差却可能是个常数。

A。乘 $-2$ 变向：$-4<-2x<2$；再加 $3$：$-1<3-2x<5$。核对端点：$x$ 接近 $-1$ 时 $3-2x$ 接近 $5$，$x$ 接近 $2$ 时接近 $-1$。B 是把 $-2x$ 当成了 $2x$；C 是忘了加 $3$。

答案是 D：两边同时减去同一个数，差 $a-b$ 一点没变，方向当然不变。

A：取 $a=1,b=-2$，$a>b$，可是 $a^2=1<4=b^2$。两边有负数时不能放心平方。

B：取 $a=1,b=-1$，$\frac{1}{a}=1$，$\frac{1}{b}=-1$，$1<-1$ 不成立。而且 $b=0$ 时 $\frac{1}{b}$ 根本没有意义。

C：$c=0$ 时两边都是 $0$；$c<0$ 时方向还会反过来。

记住：两边同加同减同一个数不变向；乘、除、平方、取倒数之前，先查符号与定义条件。

答案 B。$c^2$ 不会是负数，很多人就当它是正数，选 A。可它可以是 0。

①：$c=0$ 时两边都是 $0$，$0>0$ 不成立，所以 ① 错。

②：既然 $a{c}^2>b{c}^2$，两边就不可能都等于 0，说明 $c^2\ne 0$，即 $c^2>0$。两边同除以正数 $c^2$，方向不变，得 $a>b$。② 对。

同一对式子，一个方向对、一个方向错——这就是「单向推论」。乘一个带字母的数之前，正、负、零三种情况都要想到。

答案 B。同向不等式能相加，不能随便相乘。

A、C 的反例：$a=1,b=-2,c=1,d=-3$。$a,c$ 都是正数，但 $ac=1$，$bd=6$，$ac<bd$。

原因看作差：$ac-bd=c(a-b)+b(c-d)$。若再有 $c>0$、$b>0$，就能保证两项都正，从而 $ac>bd$。四个数都为正是一组充分条件，不能说是个别数值下乘积不等式成立的必要条件。例如 $a=3,b=2,c=-1,d=-2$，仍有 $ac=-3>-4=bd$。

A。常见错法：先分别求出 $\frac{1}{2}<a<\frac{7}{2}$，$-\frac{5}{2}<b<\frac{1}{2}$，再相加得 B。可 B 的上端要 $a$ 靠近 $\frac{7}{2}$、$b$ 靠近 $\frac{1}{2}$ 同时发生：前者要 $a-b$ 靠近 $4$，后者要 $a-b$ 靠近 $2$，做不到。拆成 $a$、$b$ 两个范围再相加，丢了它们之间的联系，范围被放大了。

正确做法：把 $2a+3b$ 直接写成 $a+b$ 和 $a-b$ 的组合。设 $2a+3b=m(a+b)+n(a-b)$，比较系数 $m+n=2$，$m-n=3$，得 $m=\frac{5}{2}$，$n=-\frac{1}{2}$。

$-\frac{5}{2}<\frac{5}{2}(a+b)<\frac{15}{2}$，$-2<-\frac{1}{2}(a-b)<-1$（乘负数变向），相加：$-\frac{9}{2}<2a+3b<\frac{13}{2}$。两端分别在 $a+b\to -1,a-b\to 4$ 和 $a+b\to 3,a-b\to 2$ 时靠近，都能无限接近。