4.1 数列的概念

小林开始练跑步，记下每天跑的圈数：第 1 天 $3$ 圈，第 2 天 $5$ 圈，第 3 天 $7$ 圈，第 4 天 $9$ 圈……每天都比前一天多 $2$ 圈。点下面的按钮，用两种不同思路算出第 6 天的圈数：

1. 先认识几个词

要用到：函数的概念，「定义域里每个 $x$ 对应唯一一个值」（回看 3.1 函数的概念及其表示）。

本质对比

数列 vs 集合

• 有序性：数列看次序，$(1,2,3)\ne (3,2,1)$；集合元素无序，$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$。
• 可重复性：数列项可重复（如常数列 $2,2,2\dots$）；集合元素互异，绝无重复。
• 函数本质：无穷数列以 ${\mathbf{N}}^{\ast }$、有穷数列以 $\{1,2,\dots ,m\}$ 为定义域，是特殊离散函数，图象是一串孤立的点。

表述对比

通项公式 vs 递推公式

• 通项公式 $a_n=f(n)$：一步到位，给定下标位置 $n$ 即可直接计算该项的值。
• 递推公式 $a_{n+1}=g(a_n)$：步步累进，必须配齐初始项（如 $a_1$）方能确定数列。
• 关联转化：递推关系常通过累加、累乘或构造法转化为显式通项公式。

2. 数列是一种特殊的函数：通项公式

每个位置 $n$ 对应唯一一个值 $a_n$，这正是函数：自变量是位置 $n$，定义域是正整数集 ${\mathbf{N}}^{\ast }$（无穷数列）或 $\{1,2,\dots ,m\}$（有穷数列）。如果 $a_n$ 和 $n$ 的关系能写成一个式子 $a_n=f(n)$，这个式子叫数列的通项公式。

3. 递推公式与三步破题思维链

典型例题：由前 n 项和 $S_n$ 求解数列通项公式

信号

题目给出前 $n$ 项和 $S_n=f(n)$ 的表达式，要求数列通项公式 $a_n$。

步骤

基底求首项

差分求通项

回验合并

防坑

若吻合方可合写；若不吻合（如 $S_n=n^2+1$），必须写成分段形式，严禁直接照抄化简式！

4. 由前 $n$ 项和求通项

$S_n$ 比 $S_{n-1}$ 正好多加了一个 $a_n$，所以 $n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$。$n=1$ 时 $S_0$ 没有定义，只能单独使用 $a_1=S_1$。

5. 三大翻车现场红绿对比卡

再深一点（可以先跳过）

数列的增减：若从第 2 项起每一项都比前一项大（$a_{n+1}>a_n$），叫递增数列；每一项都比前一项小，叫递减数列；各项相等叫常数列；大小交替叫摆动数列（如 $a_n=(-1{)}^n$）。

用差判断增减：$a_n=\frac{n}{n+1}$，$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$，故为递增数列。

找最大项的判定：第 $k$ 项最大，需满足 $a_k\ge a_{k-1}$ 且 $a_k\ge a_{k+1}$，解出整数 $k$。

把猜想变成严格结论：例 2 里，由 $a_{n+1}=2a_n+1$ 两边加 1 得 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，从而化归为等比数列证明（严谨证明参看 4.4 数学归纳法）。

① 通项和递推：看点、看 $S_n$

先选「通项」或「递推」，拖滑块改参数，图上的点和下面的式子一起变。拖动金色圆点（或选中后按方向键）选第 $k$ 项，看 $a_k$ 和 $S_k$。通项模式里虚线是把 $n$ 当实数画出的曲线，只作参考：数列只有上面那些点。打开时两种模式给出的是同一个数列 $1,3,5,\dots$。

② 进阶：由 $S_n$ 求 $a_n$，第 1 项合不合得上

设 $S_n=p{n}^2+qn+c$。实心点是真正的 $a_n$（$a_1=S_1$，$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$）；空心圈是把 $n\ge 2$ 的式子 $2pn+q-p$ 硬代 $n=1,2,\dots$ 得到的值。先看 $c=0$，再把 $c$ 调成 $1$（就是 $S_n=n^2+1$），看第 1 个点。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

易错

挑战

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。