4.3 等比数列

拉面师傅做手工拉面：一团面拉开再对折叫「一扣」。拉第 $1$ 扣变成 $2$ 根，并拢对折拉第 $2$ 扣变成 $4$ 根，第 $3$ 扣变成 $8$ 根……每次根数都翻倍（乘 $2$）。点按钮看看面条根数怎么涨：

1. 先认识几个词

要用到：数列、通项、$S_n$ 的记号（回看 4.1）；等差数列的研究思路，这里把「加 $d$」换成「乘 $q$」（回看 4.2）；整数指数幂的运算（回看 4.1 指数）和指数函数（回看 4.2 指数函数）。

中项辨析

等比中项的双解与符号

• 同号两数等比中项：$G^2=ab⟹G=\pm \sqrt{ab}$，通常有正负两个（如 $1$ 与 $9$ 的中项是 $\pm 3$）。
• 具体数列限制：若在同号数列中（隔两步 $a_3=a_1{q}^2$），符号必与首项一致；首项正时舍负，首项负时舍正。
• 异号两数无中项：若 $ab<0$，实数范围内不存在等比中项。

机制对偶

等差 vs 等比 对偶法则

• 步进法则：等差「每步加 $d$」$⟷$ 等比「每步乘 $q$」。
• 下标对称：等差「下标和等则项和等」$⟷$ 等比「下标和等则项积等」（$a_m{a}_n=a_p{a}_q$）。
• 求和机制：等差倒序相加对称配对 $⟷$ 等比错位相减抵消中段。

2. 定义与色彩语义主公式

一个数列从第 $2$ 项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数 $q$，它就是等比数列：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$。各项均非零（$a_1\ne 0,q\ne 0$）。

3. 等比中项与三步破题思维链

典型例题：含参数公比等比数列的前 n 项和讨论

信号

题目给出首项 $a_1$ 且公比含有未知字母 $q$，要求前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式。

步骤

判定公比分界

分支书写求和

核对指数项数

防坑

公比为字母时漏掉 $q=1$ 分类会导致分母为 0 严重失分；数项数从 $q^0$ 到 $q^{n-1}$ 共 $n$ 项。

4. 前 $n$ 项和：乘 $q$ 错位相减法

将 $S_n$ 整体乘以 $q$ 后错开一位相减，中间各项完全对消，直接得出求和公式：

5. 三大翻车现场红绿对比卡

再深一点（可以先跳过）

与指数函数的关系：当 $q>0$ 时，点 $(n,a_n)$ 位于曲线 $y=\frac{a_1}{q}\cdot q^x$ 上。当 $q<0$ 时，不能直接把负底数的 $q^x$ 当作全体实数上的指数函数；数列仍只取整数项。

下标和与乘积性质：若 $m+n=p+k$，则 $a_m{a}_n=a_p{a}_k$。

项数计数技巧：从 $a_1{q}^k$ 到 $a_1{q}^m$，总项数为 $m-k+1$ 项。

① 拖 $a_1$、$q$：看各项和前 $k$ 项和一起变

圆点是各项 $a_k$，柱子是前 $k$ 项和 $S_k$。拖底下的竖线（或选中后按方向键）选一个 $k$。把 $q$ 拖到负数、拖到 $1$、拖到 $0$ 各看一次；纵轴会自动缩放。

② 进阶：逐期投入，每笔钱存了几期

每年存 $1000$ 元，年利率 $r$，按复利。柱子是第 $j$ 笔钱到第 $N$ 年末变成多少：浅色是本金，深色是利息。点一根柱子（或用方向键）看它存了几期。切换「年末存 / 年初存」，看时点不同差多少；下面还和「第 $0$ 年一次存 $1000N$」比一比。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

易错

挑战

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。