3.3 抛物线

B。卫星天线的截面是一条抛物线，它的焦点就是所有平行入射波经反射后汇聚的共同点！反过来，探照灯把灯珠放在焦点，反射出的就是平行的强聚光束。

这一切神奇的光学与物理性质，都源于抛物线最纯粹的几何定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）的距离严格相等。这一节就从这个定义出发，弄清它的标准方程、性质和用法。

A。$\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=|y+1|$，平方得 $x^2-2y+1=2y+1$，即 $x^2=4y$。选 B 是把焦点到原点距离当成了 $p$；选 C 是轴搞反了；选 D 是开口方向反了。

B。一次项是 $y$，对称轴是 $y$ 轴；系数 $-8<0$，开口向下。$2p=8⟹\frac{p}{2}=2$，焦点 $(0,-2)$。

选 A 是轴搞错了；选 C 是只除了 $2$；选 D 是直接抄了一次项系数。

A。$2p=6⟹p=3$，准线 $x=-\frac{3}{2}$。焦半径 $|PF|=x_0+\frac{3}{2}=5⟹x_0=\frac{7}{2}$。选 B 是减了 $p=3$；选 C 是加反了；选 D 是把距离直接当横坐标。

A。一次项为 $x$，系数为 $8>0$，开口向右，焦点在 $x$ 轴正半轴。

牢记核心法则：一次项系数除以 4 得到焦点坐标，$\frac{8}{4}=2$，因此焦点为 $(2,0)$；除以 2 得到焦准距 $p=4$，因此准线方程为 $x=-2$。

选 B 的同学除以了 2；选 C 搞错了坐标轴；选 D 则是直接抄了一次项系数。

B。直接用焦半径公式与准线转化！抛物线 $x^2=4y$ 中 $2p=4⟹p=2$，$\frac{p}{2}=1$。准线方程为 $y=-1$。

由抛物线定义，曲线上点 $P$ 到焦点的距离直接等于它到准线的垂直距离：$|PF|=d(P,l)=y_0-(-1)=3+1=4$。完全不需要求出 $x_0$ 的具体数值！

B。易错陷阱：非标准方程先化标！绝不能直接把 $2$ 除以 4！标准方程中平方项系数必须是 1：将 $y=2x^2$ 两边同除以 2，化为标准形式 $x^2=\frac{1}{2}y$。

此时一次项是 $y$，系数为 $\frac{1}{2}$，开口向上，焦点在 $y$ 轴上。再将一次项系数除以 4：$\frac{1/2}{4}=\frac{1}{8}$，焦点坐标为 $\left(0,\frac{1}{8}\right)$。选 A 是直接拿 2 除以 4；选 C 是搞错了焦点所在轴。

C。易错陷阱：定点在定直线上时的轨迹退化！抛物线定义严格要求定点不在定直线上（$F\notin l$）。

本题中定点 $F(1,0)$ 恰好就在直线 $l:x=1$ 上！设动点 $P(x,y)$，它到直线 $l$ 的垂足为 $H(1,y)$。由 $|PF|=|PH|$ 得 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x-1|$，两边平方即得 $(x-1{)}^2+y^2=(x-1{)}^2⟹y^2=0⟹y=0$。轨迹是过点 $F$ 且垂直于 $l$ 的一条直线（即 $x$ 轴），并不存在抛物线！

B。解题神器：准线转化破最值！抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$，准线为 $l:x=-1$。由定义，$|PF|=d(P,l)$（$P$ 到准线的距离）。

所以 $|PA|+|PF|=|PA|+d(P,l)$。由垂线段最短，当过 $A$ 作准线 $l$ 的垂线交抛物线于 $P$ 时，折线段化为直线段，取得最小值，最小值为点 $A$ 到准线的距离：$x_A-(-1)=4-(-1)=5$。

若误连 $AF$ 算两点距离 $\sqrt{(4-1{)}^2+2^2}=\sqrt{13}\approx 3.6$（选 D），由于点 $A$ 在抛物线内部，线段 $AF$ 根本不与抛物线相交，动点 $P$ 绝不可能落在线段 $AF$ 上！