4.2 等差数列

第 1 步

从例子进入

一个小礼堂，第 $1$ 排有 $20$ 个座位，往后每一排都比前一排多 $2$ 个座位。点下面的按钮，数一数从第 $1$ 排到第 $6$ 排中间跨了几个「 $+ 2$ 」：

互动演示载入中

想一想

第 $6$ 排有几个座位？

看答案与解析

答案：A

一排一排数： $20, 22, 24, 26, 28, 30$ 。第 $6$ 排是 $30$ ，选 A。

从第 $1$ 排走到第 $6$ 排，只多了 $5$ 次，所以是 $20 + 5 \times 2$ ，不是 $20 + 6 \times 2$ 。

「每次多同一个数」的数列叫等差数列。这一节讲：第 $n$ 排有几个座位（通项），前 $n$ 排一共几个座位（前 $n$ 项和）。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：4.1 的数列、项、通项公式、前 $n$ 项和 $S_{n}$ （回看 4.1）；一次函数 $y = k x + b$ 和二次函数的顶点（函数 3.1、二次函数 2.3）。

互动演示载入中

中项性质

等差中项与对称求和

等差中项： $a, A, b$ 成等差 $⟺ 2 A = a + b ⟺ A = \frac{a + b}{2}$ 。
下标和性质：若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。
奇数项求和： $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ （首末和换为中间项的 2 倍）。

公式选用

两套求和公式与最值判定

已知首末项：用 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ，梯形平均算法最快捷。
已知首项与公差：用 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ ，化简后无常数项。
求 $S_{n}$ 最值：当 $a_{1} > 0, d < 0$ 时，令 $a_{n} \geq 0$ 找正项分界点即为最大和。

2. 定义与色彩语义主公式

一个数列，从第 $2$ 项起，每一项减它的前一项都等于同一个常数 $d$ ，就叫等差数列：

想一想

自己试试：等差数列 $a_{1} = 2$ ， $d = 3$ ， $a_{20}$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。 $a_{20} = 2 + (20 - 1) \times 3 = 2 + 57 = 59$ 。选 B 的同学用了 $20 \times 3$ ：从第 $1$ 项到第 $20$ 项只走 $19$ 步。

3. 等差中项与三步破题思维链

典型例题：首正负公差数列的前 n 项和最大值求解

信号

已知等差数列 $a_{1} > 0, d < 0$ （数列从正数递减走向负数），要求前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值及对应项数。

步骤

找正项分界

确定最值项

代入求和公式

防坑

切忌盲目套用二次函数实数对称轴 $- \frac{B}{2 A}$ 得出非整数结论；下标必须为整数。

想一想

自己试试： $- 4$ 与 $10$ 的等差中项是？

看答案与解析

答案：A

A。 $\frac{- 4 + 10}{2} = 3$ ，检验 $- 4, 3, 10$ 的相邻差都是 $7$ 。选 B 的同学算的是 $\frac{10 - ( - 4 )}{2}$ ，那是公差，不是中项。

4. 前 $n$ 项和：倒序相加推导

将数列正着写一遍、倒着写一遍，上下对齐相加，每一列之和恒为 $a_{1} + a_{n}$ ，共 $n$ 列，即 $2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n})$ 。

想一想

自己试试： $1 + 3 + 5 + \dots + 19$ 等于？

看答案与解析

答案：A

A。先数项数： $19 = 1 + (n - 1) \times 2 ⟹ n = 10$ 。 $S_{10} = \frac{10 \times ( 1 + 19 )}{2} = 100$ 。选 B 是忘了除以 $2$ ；选 C 是把项数当成了 $19$ 。

5. 三大翻车现场红绿对比卡

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

通项是 $p n + q$ 的形式：一定是等差数列，公差为 $p$ ；若 $p = 0$ 则为常数列。

前 $n$ 项和是 $A n^{2} + B n$ 的形式（无常数项）：数列必为等差数列，公差 $d = 2 A$ 。若含有非零常数项（如 $S_{n} = n^{2} + 1$ ），则第一项脱节，并非整体等差数列。

对称轴恰为半整数：若实数对称轴恰为 $n = 4.5$ ，则 $S_{4} = S_{5}$ 达到最大值（此时恰有 $a_{5} = 0$ ）。

第 3 步

动手

① 拖首项和公差：点落在一条直线上

画的是前 $8$ 项 $(n, a_{n})$ 。拖第 $1$ 个点改 $a_{1}$ ，拖第 $2$ 个点改 $a_{2}$ （也就改了 $d = a_{2} - a_{1}$ ）；选中圆点后按上下方向键也行。虚线是 $y = d x + (a_{1} - d)$ 。把 $d$ 调成 $0$ 看看。

互动演示载入中

② 进阶： $S_{n}$ 什么时候最大（最小）

实心点是 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{20}$ ；虚线是把 $n$ 当实数画出的抛物线。空心圈是实数顶点，金色点是真正取到最值的整数 $n$ 。拖圆点 $P$ （或按左右方向键）读任意一个 $S_{n}$ 。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

等差数列中 $a_{3} = 7$ ， $a_{9} = 25$ ， $a_{1}$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。第 $3$ 项到第 $9$ 项走 $6$ 步： $6 d = 25 - 7 = 18$ ， $d = 3$ ；再往回走 $2$ 步： $a_{1} = 7 - 2 \times 3 = 1$ 。选 C 的同学只往回走了 $1$ 步。

想一想

等差数列中 $a_{2} + a_{8} = 16$ ， $S_{9}$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。 $1 + 9 = 2 + 8$ ，所以 $a_{1} + a_{9} = a_{2} + a_{8} = 16$ ， $S_{9} = \frac{9 \times 16}{2} = 72$ 。不用求出 $a_{1}$ 和 $d$ 。选 B 是忘了除以 $2$ 。

易错

想一想

数列 $5, 5, 5, 5, \dots$ （每一项都是 $5$ ）。下面说法对的是？

看答案与解析

答案：B

B。每个相邻差都是 $0$ ，同一个常数，符合定义， $d = 0$ 完全可以。这时 $a_{n} = 5$ ，点排成水平一行；「等差数列的通项是 $n$ 的一次函数、图象斜着」只在 $d \neq = 0$ 时成立。在「动手」①把 $d$ 调到 $0$ 就能看到。

想一想

数列的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 1$ 。它是等差数列吗？

看答案与解析

答案：B

B。 $a_{1} = S_{1} = 2$ 。 $n \geq 2$ 时 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n - 1$ ，得 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 5$ ， $a_{4} = 7$ 。数列是 $2, 3, 5, 7, \dots$ ： $a_{2} - a_{1} = 1$ ，后面都是 $2$ ，不是每一处都一样，不是等差数列。

A 错在 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 只对 $n \geq 2$ 成立，第 $1$ 项要单独用 $S_{1}$ 算；只看后面几项是 $2$ 就下结论，正是「凭几项」。

想一想

等差数列 $a_{1} = 13$ ， $d = - 3$ 。 $S_{n}$ 的最大值是？

看答案与解析

答案：B

B。 $S_{n} = 13 n - \frac{3 n ( n - 1 )}{2} = - \frac{3}{2} n^{2} + \frac{29}{2} n$ 。当实数看，顶点 $n = \frac{29}{6} \approx 4.83$ ，那里的值是 $\frac{841}{24} \approx 35.04$ ，但没有第 $4.83$ 项，A 取不到。

比较两边的整数： $S_{4} = 52 - 18 = 34$ ， $S_{5} = 65 - 30 = 35$ ，最大值是 $S_{5} = 35$ 。选 C 是把 $4.83$ 直接截成了 $4$ 。从项看： $13, 10, 7, 4, 1$ 都是正的， $a_{6} = - 2$ ，加到第 $5$ 项最大。

挑战

想一想

等差数列 $a_{1} = 20$ ， $d = - 2$ ， $S_{n} = 54$ 。 $n$ 是？

看答案与解析

答案：C

C。 $S_{n} = 20 n - n (n - 1) = 21 n - n^{2} = 54$ ，即 $n^{2} - 21 n + 54 = 0$ ， $(n - 3) (n - 18) = 0$ 。检验：两个根都是正整数，都要。

$n = 18$ 为什么也行： $a_{4} = 14$ ， $a_{18} = - 14$ ，从第 $4$ 项到第 $18$ 项正负抵消，和是 $0$ ，所以 $S_{18} = S_{3} = 54$ 。只留一个的同学没把每个根都检验。

对比：若 $S_{n} = 100$ ， $n^{2} - 21 n + 100 = 0$ 的根是 $\frac{21 \pm 41}{2}$ ，不是整数，这个和取不到。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2023 新课标Ⅰ卷第 7 题 · 单选

记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和。设甲： ${a_{n}}$ 为等差数列；乙： ${S_{n} / n}$ 为等差数列，则

看答案与解析

答案：C

充要条件要检查两个方向，把前n项平均数写成关于n的一次式。

证明甲推出乙

若 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，则 $S_{n} / n = a_{1} + (n - 1) d /2$ ，是等差数列。

证明乙推出甲

若 $S_{n} / n = u + (n - 1) v$ ，则 $S_{n} = n u + n (n - 1) v$ 。对 $n \geq 2$ ，相邻相减得 $a_{n} = u + 2 (n - 1) v$ 。

核对首项并判断

当 $n = 1$ ， $a_{1} = S_{1} = u$ ，也符合上式。故两个方向均成立，选C。

前缀和能还原通项，判充要条件需分别检验两条箭头。

2026 新高考Ⅰ卷第 7 题 · 单选

一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深厚的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, 12)$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = a_{3} = 3$ ， $a_{4} = a_{5} = 5$ ，且 $a_{6}, a_{7}, \dots, a_{12}$ 是一个首项为 7，公差为 2 的等差数列。将 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{12}$ 分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列，则 $d =$

看答案与解析

答案：B

六组和的总和仍为108；利用每组和都是偶数缩小公差范围，最后构造合法配对。

建立整除与范围约束

所有原数均为奇数，因此组和首项 t 与公差 d 都为偶数。由总和108，得 $6 (2 t + 5 d) /2 = 108$ ，即 $2 t + 5 d = 36$ 。因 t 为偶数，模4可得 d 是4的倍数。又 $t \geq 1 + 3 = 4$ ，故 $0 < d \leq 28/5$ ，只能 d=4。

构造实现

配成 $(3, 5), (3, 9), (1, 15), (7, 13), (5, 19), (11, 17)$ ，组和依次为8、12、16、20、24、28，确为公差4的等差数列，故选 B。

重组问题先找总量与整除不变量，再用构造补足存在性证明。

2026 新高考Ⅱ卷第 12 题 · 填空

$S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和。若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 5$ ，则 $S_{6} =$ ＿＿＿＿。

答案与解析

答案： $24$

思路

先用项数差求公差，再求第六项或直接套求和公式。

求公差
$a_{4} = a_{1} + 3 d$ ，所以 $5 = - 1 + 3 d$ ，得 $d = 2$ 。
求和
$a_{6} = - 1 + 5 \times 2 = 9$ ，故 $S_{6} = 6 (- 1 + 9) /2 = 24$ 。

易错点

用 4 而不是 3 除两项差。
求和公式忘记除以 2。

小结

等差数列先用位置差求公差，再用首末项求和。

4.2 等差数列

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词

2. 定义与色彩语义主公式

3. 等差中项与三步破题思维链

4. 前 n 项和：倒序相加推导

5. 三大翻车现场红绿对比卡

动手

① 拖首项和公差：点落在一条直线上

② 进阶：Sn​ 什么时候最大（最小）

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

4. 前 $n$ 项和：倒序相加推导

② 进阶： $S_{n}$ 什么时候最大（最小）