2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

一条直线和一个圆碰不碰得上、两个圆怎么摆，不用画图去猜：算一个距离，和半径比一比就知道。

本节知识点圆的定距定义与正半径点与圆的位置关系直线与圆的距离判定线圆联立的根与交点对应两圆位置关系与同心重合例外圆系线性组合的退化检查切割线关系的几何推导圆弦长与圆心到弦所在直线的距离公共弦所在直线与真实公共弦圆与直线路线的简单实际应用

第 1 步

从例子进入

一座雷达站能看到周围 $5$ 千米以内的飞机。一条笔直的航线，离雷达站最近的地方是 $4$ 千米。点下面的按钮，改变航线离雷达站的最近距离 $d$ 看看：

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想一想

沿这条航线飞的飞机，会不会进入雷达的探测范围？

看答案与解析

答案：A

A。最近处离雷达站 $4$ 千米，比 $5$ 千米近，飞到那里时已经在圈里了，前后还有一段也在圈里。

如果最近处正好 $5$ 千米，只在那一点擦边；如果最近处 $6$ 千米，整条航线都在圈外。

把探测范围看成一个圆、航线看成一条直线：圆心到直线的距离和半径一比，就知道直线和圆的关系。两个圆也一样，比的是两个圆心的距离。这一节就讲这两件事。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：点到直线的距离公式 $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ （回看 2.3）；圆的标准方程、一般方程，以及配方找圆心和半径（回看 2.4）。

互动演示载入中

方法辨析

几何法：求圆心到直线距离 $d$ ，与 $r$ 比较大小（ $d < r$ 相交； $d = r$ 相切； $d > r$ 相离）。计算量极小，推荐率 100%！

代数法：联立方程代入消元得一元二次方程，算 $Δ$ 。对于圆的问题计算繁冗，容易算错，多用于后续椭圆与双曲线。

高考秘诀：凡涉及圆的相交相切问题，一律优先用几何法！

临界辨析

相切双态：题干若说「两圆相切」，必须严格分类讨论外切与内切！

五态全景：外离 ( $d > r_{1} + r_{2}$ )、外切 ( $d = r_{1} + r_{2}$ )、相交 ( $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ )、内切 ( $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ )、内含 ( $d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ )。

警惕：只考虑外切遗漏内切，高考直接丢一半答案分！

2. 直线和圆：比较 $d$ 和 $r$

直线上离圆心最近的点距离是 $d$ 。 $d < r$ ，最近的点在圆内，直线从圆里穿过去，进出各一个点； $d = r$ ，最近的点正好在圆上，其他点都更远，只碰一下； $d > r$ ，连最近的点都在圆外，整条线都碰不到。

$d$ 和 $r$	$d < r$	$d = r$	$d > r$
关系	相交	相切	相离
公共点	$2$ 个	$1$ 个	$0$ 个

想一想

自己试试：直线 $x + y - 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：A

A。圆心 $(0, 0)$ ， $r = 2$ ； $d = \frac{∣0 + 0 - 2∣}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 2 \approx 1.41 < 2$ ，相交（两个交点是 $(2, 0)$ 和 $(0, 2)$ ）。选 B 的同学多半忘了除以 $1^{2} + 1^{2}$ ，把 $d$ 算成了 $2$ 。

3. 弦长：用垂径定理

相交时，半弦、 $d$ 、 $r$ 是一个直角三角形的三边，斜边是 $r$ ：

不用求出两个交点的坐标再算距离，省掉解方程。

想一想

自己试试：直线 $y = 2$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 13$ 截得的弦长是？

看答案与解析

答案：B

B。 $d = 2$ ， $r = 13$ ，半弦 $= 13 - 4 = 3$ ，弦长 $6$ 。选 A 的同学停在了半弦，忘了乘 $2$ ；选 C 是把直径当成了弦长；选 D 是把 $r^{2} - d^{2}$ 算成了 $13 - 2$ （ $d$ 没平方）。

4. 圆和圆：比较圆心距 $d$ 和 $r_{1} + r_{2}$ 、 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$

想象一个圆不动，另一个圆从很远处朝它靠过来：外离 $\to$ 外切 $\to$ 相交 $\to$ 内切 $\to$ 内含。外切时圆心距正好是两半径之和，内切时正好是两半径之差。

圆心距 $d$	关系	公共点
$d > r_{1} + r_{2}$	外离	$0$
$d = r_{1} + r_{2}$	外切	$1$
$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$	相交	$2$
$d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ，且 $r_{1} \neq = r_{2}$	内切	$1$
$d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$	内含（ $d = 0$ 时是同心圆）	$0$

想一想

自己试试：圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 与圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：C

C。 $r_{1} = 3$ ， $r_{2} = 2$ ，圆心距 $d = 1$ 。 $r_{1} - r_{2} = 1 = d$ ，内切（切点 $(3, 0)$ ）。选 A 的同学只看了 $d = 1 < 5 = r_{1} + r_{2}$ ，没和 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 比。

5. 公共弦：两个方程相减

两圆相交时，把两个圆的一般方程（ $x^{2}$ 、 $y^{2}$ 系数都是 $1$ ）相减，消去二次项，得到的一次方程就是公共弦所在直线方程。

想一想

自己试试：圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 相交，公共弦所在直线是？

看答案与解析

答案：A

A。相减： $(x^{2} + y^{2} - 4) - (x^{2} + y^{2} - 4 x) = 4 x - 4 = 0$ ， $x = 1$ 。选 B 的同学减的时候 $- 4 x$ 前面的负号没变号。

6. 三步破题思维链：直线与圆综合解题标准动作

第一眼破题信号

审清题目已知：是直线与圆相切/相交截弦，还是过圆外一点作切线，或是两圆位置关系。若求切线，立刻自问：是否存在斜率不存在的竖直切线？

第二步套公式/方法

① 割线弦长问题：算圆心到直线距离 $d$ ，套用垂径公式 $L = 2 r^{2} - d^{2}$ ； ② 切线方程问题：令圆心到直线距离 $d = r$ 列方程解斜率 $k$ ； ③ 两圆相切问题：分别列出 $d = r_{1} + r_{2}$ （外切）与 $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ （内切）方程求解参数。

第三步必查防坑结论

① 圆外一点引切线恒有两条，若由 $d = r$ 仅解出一个斜率，必须把漏掉的竖直切线 $x = x_{0}$ 补上！ ② 题目说「两圆相切」，内切与外切缺一不可；方程相减求公共弦前，必须确认两圆两交点真实存在。

7. 三大翻车现场与反例辨析

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再深一点（可以先跳过）

公切线条数总结：外离 $4$ 条（ $2$ 外公切、 $2$ 内公切）；外切 $3$ 条；相交 $2$ 条；内切 $1$ 条；内含 $0$ 条。

圆系方程：过两圆交点的圆系方程可设为 $C_{1} + λ C_{2} = 0$ （ $λ \neq = - 1$ ），当 $λ = - 1$ 时即为公共弦方程。

第 3 步

动手

① 直线 $y = k x + b$ 和圆 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$

拖动直线和 $y$ 轴的交点（金色圆点）上下移动直线，或选中它按 ↑↓ 改 $b$ 、←→ 改 $k$ ；也可以拉下面的滑块。看 $d$ 和 $r = 3$ 怎么比、弦怎么变。试试 $k = 0$ 、 $b = 4$ ，以及 $k = 0.75$ 、 $b = 4$ 。

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② 进阶：两个圆的五种关系和公共弦

圆 $C_{1}$ 圆心在原点。拖动圆 $C_{2}$ 的圆心（或选中后按方向键，每次 $0.5$ ），用滑块改两个半径。看圆心距 $d$ 落在 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 和 $r_{1} + r_{2}$ 的哪一边。虚线是两个方程相减得到的直线：只有相交时，它上面才有公共弦（金色线段）。下面的按钮直接摆出各种情况。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

直线 $2 x - y + 5 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：B

B。配方： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，圆心 $(1, 2)$ ， $r = 5$ 。 $d = \frac{∣2 - 2 + 5∣}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 5 = r$ ，相切。配方时常见的错是把右边写成 $0$ 或 $- 5$ ：两边都要加上 $1$ 和 $4$ 。

想一想

直线 $3 x - 4 y - 2 = 0$ 被圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ 截得的弦长是？

看答案与解析

答案：A

A。圆心 $(0, 2)$ ， $r = 5$ ； $d = \frac{∣0 - 8 - 2∣}{5} = 2$ ；弦长 $= 2 25 - 4 = 221$ 。B 是半弦；C 把 $r^{2} - d^{2}$ 算成了 $r^{2} + d^{2}$ ；D 是直径。

易错

想一想

圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：C

C。第二个圆配方： $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆心 $(1, 0)$ ， $r_{2} = 1$ ； $r_{1} = 4$ 。圆心距 $d = 1$ 。

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 3$ ， $d = 1 < 3$ ，小圆整个在大圆里面，内含。选 A 的同学只比了 $d = 1 < 5 = r_{1} + r_{2}$ ：两条分界线 $r_{1} + r_{2}$ 、 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 都要比。

想一想

圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ 。小明把两个方程相减，得到 $8 x - 13 = 0$ ，说「公共弦所在直线是 $8 x - 13 = 0$ 」。对吗？

看答案与解析

答案：B

B。第二个圆配方： $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ ，圆心 $(4, 0)$ ， $r_{2} = 2$ 。圆心距 $d = 4 > 1 + 2 = 3$ ，外离，没有公共点。

相减本身没算错（谁减谁都是同一条直线），但不相交的两个圆相减也会得到一条直线，它不是公共弦。先判断相交，再相减。

想一想

方程 $m (x^{2} + y^{2}) - 2 x = 0$ 表示的曲线与直线 $y = 1$ 只有一个公共点。 $m$ 的取值是？

看答案与解析

答案：B

B。 $y = 1$ 代入： $m x^{2} - 2 x + m = 0$ 。

$m \neq = 0$ 时这是二次方程， $Δ = 4 - 4 m^{2} = 0$ ， $m = \pm 1$ 。比如 $m = 1$ ：曲线是圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，和 $y = 1$ 相切。

$m = 0$ 时方程变成 $- 2 x = 0$ ，不是二次方程，不能用 $Δ$ 。它只有一个解 $x = 0$ ：曲线是直线 $x = 0$ ，和 $y = 1$ 交于一点 $(0, 1)$ 。这不是相切，但「只有一个公共点」成立。选 A 漏了这种情况，选 C 漏了 $m = - 1$ （那时是圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ）。

挑战

想一想

圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ 的公共弦长是？

看答案与解析

答案：C

C。先确认相交：第二个圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ ，圆心 $(3, 4)$ ， $r_{2} = 5$ ； $r_{1} = 5$ ，圆心距 $d = 5$ ， $0 < 5 < 10$ ，相交。

相减： $(x^{2} + y^{2} - 25) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y) = 6 x + 8 y - 25 = 0$ 。原点到它的距离 $\frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ ，半弦 $= 25 - \frac{25}{4} = \frac{5 3}{2}$ ，弦长 $53$ 。B 是半弦。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2023 新课标Ⅰ卷第 6 题 · 单选

过点 $(0, - 2)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $sin α =$

看答案与解析

答案：B

连接圆心与外点，用切点处的直角三角形求半角。

确定三条边

圆为 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 5$ 。圆心 $O = (2, 0)$ 、半径 $5$ 。设 $P = (0, - 2)$ 、切点为T，则 $O P = 22$ ， $P T = 8 - 5 = 3$ 。

求半角的正弦和余弦

设 $θ = ∠ O P T$ ，由 $O T ⊥ P T$ ，得 $sin θ = 5 / (22)$ ， $cos θ = 3 / (22)$ 。

求双角正弦

两条切线所成角为 $2 θ$ 或其补角，正弦相同。所以 $sin α = 2 sin θ cos θ = 15 /4$ ，选B。

双切线问题可拆成两个全等直角三角形。

2023 新课标Ⅱ卷第 15 题 · 填空

已知直线 $l : x - m y + 1 = 0$ 与圆 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于A、B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $8/5$ ”的m的一个值______。

答案与解析

答案： $2$ （ $- 2$ 、 $1/2$ 、 $- 1/2$ 也正确）

思路

以弦为底，圆心到弦的距离为高，用一个距离表达底和高。

写出圆心距
圆心C为 $(1, 0)$ ，半径2，到直线距离 $d = 2/ 1 + m^{2}$ 。
列面积方程
$S = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ d = d 4 - d^{2} = 8/5$ 。平方并设 $u = d^{2}$ ，得 $u (4 - u) = 64/25$ 。
求参数并给出一个值
解得 $u = 4/5$ 或 $16/5$ 。再由 $u = 4/ (1 + m^{2})$ ，得 $m = \pm 2$ 或 $\pm 1/2$ 。任写一个即可，例如2。

易错点

要求一个值，并不表示仅有一个解。
顶点C是圆心，三角形高是圆心到弦的垂直距离。

小结

圆心到弦的垂线连接了弦长与面积中的高。

2026 新高考Ⅱ卷第 9 题 · 多选

已知 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $⊙ A : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k = 0$ ，则

看答案与解析

答案：B、C

先得到圆心、半径，再用距离判切；公共弦方程通过两圆方程相减得到。

求圆心半径

圆 A 的方程化为 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25 - k$ ，圆心为(3,4)，故 A 错误。k=9 时半径为4，等于圆心到 x 轴的距离，B 正确。

判断内切与公共弦

k=-11 时圆 A 半径为6，两圆心距为5，等于半径差 $6 - 1$ ，故内切，C 正确。两圆方程相减得到公共弦所在直线 $6 x + 8 y - k - 1 = 0$ ，与 D 的常数项不同，故 D 错误。选 BC。

圆的相对位置看圆心距与半径；公共弦方程保留作差时的常数项。

2026 新高考Ⅰ卷第 11 题 · 多选

已知圆 $C_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{3} : x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x + b$ 与 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 均有两个交点。记 $l$ 被 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 截得的弦长分别为 $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ ，则

看答案与解析

答案：B、C、D

三个单位圆的圆心构成等边三角形；弦长由圆心到直线的距离唯一决定。

否定 A、验证 B

取 $k = 1/ 3$ ，三个圆心在单位法向量 $(- 1/2, 3 /2)$ 上的投影为 $1/2, - 1/2, 3/2$ ，跨度为2，不能同时严格处在距某条平行线小于1的带内，故 A 错。相等弦长等价于圆心到直线等距；三个非共线圆心须分处两条等距平行线上，因此直线平行于某边，并位于该边与对顶点的中间位置。三边各给一条，距离均为 $3 /2 < 1$ ，B 正确。

严格证明 C 的额外解

取水平线 $y = b$ ，其中 $3 - 1 < b < 1$ 。三弦总长 $F (b) = 4 1 - b^{2} + 2 1 - (3 - b)^{2}$ 。在 $b_{*} = 3 /2$ 处， $F (b_{*}) = 3$ 且 $F' (b_{*}) = - 23 < 0$ ，故其左侧充分近处 F>3。左端极限为 $4 23 - 3 < 3$ ，由连续性存在 $b_{0} \in (3 - 1, 3 /2)$ 使 F(b₀)=3。此额外直线绕三角形中心旋转120°、240°后又得两条，与 B 中三条合计至少六条，且斜率均有限。故 C 正确。

验证 D 的最大值

b=0 时三个圆均与直线有两个交点要求 $k^{2} > 2$ 。令 $u = k^{2} - 2 > 0$ ，弦长总和为 $S = 2 (u + 2) / u^{2} + 3$ 。由 $(u + 2)^{2} \leq (7/3) (u^{2} + 3)$ ，得 $S \leq 221 /3$ 。等号在 u=3/2，即 $k = \pm 17 /2$ 时成立，D 正确。故选 BCD。

圆与直线综合题可统一用圆心距；数量命题要证明额外解确实存在。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词

2. 直线和圆：比较 d 和 r

3. 弦长：用垂径定理

4. 圆和圆：比较圆心距 d 和 r1​+r2​、∣r1​−r2​∣

5. 公共弦：两个方程相减

6. 三步破题思维链：直线与圆综合解题标准动作

7. 三大翻车现场与反例辨析

动手

① 直线 y=kx+b 和圆 (x−1)2+(y−1)2=9

② 进阶：两个圆的五种关系和公共弦

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

2. 直线和圆：比较 $d$ 和 $r$

4. 圆和圆：比较圆心距 $d$ 和 $r_{1} + r_{2}$ 、 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$

① 直线 $y = k x + b$ 和圆 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$