2.3 直线的交点坐标与距离公式

有了直线的方程，「两条路在哪儿相交」「两地相距多远」「点离直线多远」都能直接算出来。先从地图上的一段路开始。

本节知识点方程组、交点与三种位置关系两点距离公式点到直线距离公式及系数条件平行直线距离的系数归一平面中点坐标与反向求端点

第 1 步

从例子进入

一张公园地图画在坐标纸上，每格 $100$ 米。小林家在点 $(1, 2)$ ，学校在点 $(4, 6)$ 。先点按钮对比「沿街走折线」和「穿草坪走直线」：

互动演示载入中

想一想

如果能穿过草坪走直线，家到学校有多远？

看答案与解析

答案：A

A。往右 $3$ 格、往上 $4$ 格，直线正好是直角三角形的斜边： $3^{2} + 4^{2} = 5$ 格，即 $500$ 米。沿格子线走才是 $3 + 4 = 7$ 格（ $700$ 米）。

这一节就是把这种「用坐标算」做成公式：两条直线的交点、两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：斜率（回看 2.1）；直线的一般式（回看 2.2）；向量的坐标和数量积（回看 6.3）。

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前提辨析

严格前提：公式 $d = \frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ 必须两方程的 $A, B$ 完全相同！

翻车警示：若求 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 1 = 0$ 距离，绝不可直接 $\frac{∣ - 2 - 1∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}}$ ！必须先将第二条化为 $3 x + 4 y + \frac{1}{2} = 0$ 。

口诀：系数不一致，先倍化统一，再直接相减分子常数项。

算法辨析

垂足法：求垂线斜率 $\to$ 设垂线方程 $\to$ 联立方程求垂足 $H \to$ 套两点距离公式。步骤多且易错。

距离公式：直接把点 $(x_{0}, y_{0})$ 代入方程左边分子加绝对值，分母除以 $A^{2} + B^{2}$ ，一步得出极值垂距。

高考秒杀：点到线距离直接用公式；唯有题目指名问垂足坐标时才联立求交点。

2. 两条直线的交点：解方程组

交点同时在两条直线上，所以它的坐标同时满足两个方程。把两个方程联立，解出来的 $(x, y)$ 就是交点。

想一想

自己试试：直线 $x - y - 1 = 0$ 与 $x + y - 5 = 0$ 的交点是？

看答案与解析

答案：A

A。相加得 $2 x - 6 = 0$ ， $x = 3$ ；代回 $3 + y - 5 = 0$ ， $y = 2$ 。选 B 的同学把 $x$ 、 $y$ 写反了；最后代回两个方程检验一下就能发现。

3. 两点间的距离

点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ：横着差 $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ ，竖着差 $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ ，这两段是直角边， $P_{1} P_{2}$ 是斜边。勾股定理给出

平方之后正负号就不要紧了，所以谁减谁都可以。

想一想

自己试试： $M (- 2, 3)$ ， $N (4, - 5)$ ， $∣ M N ∣$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。 $x$ 差 $6$ ， $y$ 差 $- 8$ ， $36 + 64 = 10$ 。B 是 $6 + 8$ ，那是沿格子走；C 是把坐标加起来了（ $- 2 + 4$ 、 $3 - 5$ ）；D 忘了开方。

4. 点到直线的距离

点 $P (x_{0}, y_{0})$ 到直线 $A x + B y + C = 0$ （ $A^{2} + B^{2} > 0$ ）的距离

先看特殊的：直线 $y = 2$ ，写成 $0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0$ 。点 $(3, 5)$ 到它的距离一眼看出是 $5 - 2 = 3$ ，公式给出 $\frac{∣0 + 5 - 2∣}{0 + 1} = 3$ ，一样。直线斜过来时，分子 $∣ A x_{0} + B y_{0} + C ∣$ 还是「代进去差多少」，分母 $A^{2} + B^{2}$ 把系数的大小除掉。

想一想

自己试试：原点到直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 的距离是？

看答案与解析

答案：A

A。 $\frac{∣0 - 0 + 10∣}{9 + 16} = \frac{10}{5} = 2$ 。B 是除以 $25$ ，忘了开方；C 忘了分母；D 是除以 $3 + 4$ 。

5. 两条平行线间的距离

在一条上任取一点，算它到另一条的距离就行。如果两条写成同一组 $A$ 、 $B$ ： $A x + B y + C_{1} = 0$ 与 $A x + B y + C_{2} = 0$ ，就有

想一想

自己试试： $x + y - 1 = 0$ 与 $x + y + 3 = 0$ 间的距离是？

看答案与解析

答案：A

A。 $\frac{∣ - 1 - 3∣}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 22$ 。B 忘了分母；C 是 $C_{1} + C_{2}$ 当成了 $C_{1} - C_{2}$ 。

6. 三步破题思维链：直线距离与交点解题标准动作

第一眼破题信号

审清题目信息：是求点到直线距离、求两条平行线间距离，还是由距离已知反求动点或直线参数。先把涉及的所有直线方程无条件全部化成一般式 $A x + B y + C = 0$ 。

第二步套公式/方法

① 点到直线距离：代入 $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ ，严禁漏掉分子绝对值； ② 平行线间距离：先倍化统一两方程的 $A, B$ 项，再套用 $d = \frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ ； ③ 若已知距离求直线方程：脱绝对值时必须分类讨论正负双解（对称分布在两侧）。

第三步必查防坑结论

① 平行线距离千万不可在 $A, B$ 不同的情况下直接分子相减； ② 动点轨迹到直线距离为定值时，当给定距离d>0时，轨迹是两条平行直线；d=0时是原直线，d<0时没有满足条件的点。

7. 三大翻车现场与反例辨析

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再深一点（可以先跳过）

向量投影法推公式：直线 $A x + B y + C = 0$ 上任取两点 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ ，相减得 $A (x_{2} - x_{1}) + B (y_{2} - y_{1}) = 0$ ，向量 $n = (A, B)$ 是直线的法向量。在直线上任取一点 $Q (x_{q}, y_{q})$ ，距离就是 $QP$ 在 $n$ 方向上投影的长： $d = \frac{∣ QP \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ 。

符号的几何意义： $A x_{0} + B y_{0} + C$ 的正负表示点在直线的哪一侧，同侧同号、异侧异号。常用于线性规划与不等式区域判定。

第 3 步

动手

① 拖点 P 和直线，看垂足和距离

直线由 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 两点决定。拖动 $P$ 、 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ （或选中后按方向键，每次一格）。金色线是垂线段 $P H$ 。下面用两种方法算距离：点线距离公式、两点距离公式算 $∣ P H ∣$ ，看它们是不是一样。

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② 进阶：两条直线，方程组有几个解

绿线 $L_{1}$ 过 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ，赤金线 $L_{2}$ 过 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ ，四个点都能拖。相交时给交点；平行时先把系数统一，再算两线距离；重合时说明方程组有无穷多解。用按钮可以直接调成平行或重合。

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第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

点 $A (1, 2)$ 到直线 $3 x - 4 y + 15 = 0$ 的距离是？

看答案与解析

答案：A

A。 $\frac{∣3 - 8 + 15∣}{9 + 16} = \frac{10}{5} = 2$ 。B 忘了分母；C 除以 $25$ 没开方；D 把 $- 4 \times 2$ 算成了 $+ 8$ 。

想一想

$A (a, 3)$ ， $B (1, - 1)$ ， $∣ A B ∣ = 5$ ，且 $a > 0$ 。 $a$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(a - 1)^{2} + (3 + 1)^{2} = 25$ ， $(a - 1)^{2} = 9$ ， $a = 4$ 或 $a = - 2$ 。题目说 $a > 0$ ，只留 $4$ 。选 C 的同学没看条件；D 是漏了 $y$ 方向的差，只算了 $a - 1 = 5$ 。

易错

想一想

直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与 $3 x - 6 y + 3 = 0$ 的位置关系是？

看答案与解析

答案：C

C。斜率都是 $\frac{1}{2}$ ，但第二个方程就是第一个乘 $3$ ，方程组有无穷多解，两条线是同一条。选 A 的同学只看了斜率，忘了先排除重合。

想一想

点 $(2, 3)$ 到直线 $y = 3 x - 1$ 的距离是？

看答案与解析

答案：A

A。先化一般式 $3 x - y - 1 = 0$ ： $\frac{∣6 - 3 - 1∣}{9 + 1} = \frac{2}{10} = \frac{10}{5}$ 。B 是把 $B$ 当成了 $+ 1$ （ $∣6 + 3 - 1∣ = 8$ ）；C 是漏了 $y$ 那一项（ $∣6 - 1∣ = 5$ ）。

想一想

平行直线 $x + y + 1 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 5 = 0$ 间的距离是？

看答案与解析

答案：C

C。系数不一样，不能直接减。第二条除以 $2$ ： $x + y + \frac{5}{2} = 0$ ， $d = \frac{∣1 - \frac{5}{2} ∣}{2} = \frac{3}{2 2} = \frac{3 2}{4}$ 。A 是直接拿 $1$ 和 $5$ 相减；B 是相减后除以 $8$ ；D 忘了分母。也可以在「动手」②里摆出两条平行线看。

挑战

想一想

过点 $P (1, 2)$ 、并且到原点距离为 $1$ 的直线有几条？

看答案与解析

答案：B

B。设斜率 $k$ ： $y - 2 = k (x - 1)$ ，即 $k x - y + 2 - k = 0$ 。 $\frac{∣2 - k ∣}{k ^{2} + 1} = 1$ ，平方得 $4 - 4 k + k^{2} = k^{2} + 1$ ， $k = \frac{3}{4}$ ，直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 。

只得到一条就停的同学（选 A），漏了没有斜率的竖直线 $x = 1$ ：它过 $P$ ，到原点距离正好是 $1$ 。设斜率之前，先单独看竖直线。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2019 江苏卷第 10 题 · 填空

在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一个动点，则点P到直线 $x + y = 0$ 的距离的最小值是______。

答案与解析

答案： $4$

思路

把动点坐标代入点线距离公式，再用x>0去掉绝对值并应用基本不等式。

表示点到直线的距离
$d = \frac{∣ x + y ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣2 x + 4/ x ∣}{2}$ 。
利用定义域处理绝对值
x>0，所以 $2 x + 4/ x > 0$ ， $d = (2 x + 4/ x) / 2$ 。
应用基本不等式并核对等号
$2 x + 4/ x \geq 2 2 x \cdot 4/ x = 42$ ，故d≥4。等号要求 $2 x = 4/ x$ ，即 $x = 2$ ，符合x>0，所以最小值为4。

易错点

不能忽略距离公式中的绝对值；本题需先用x>0证明其内部为正。
用基本不等式求到下界后，还要检查等号对应的点属于原曲线。

小结

动点到直线距离的最值，可先代坐标降成一元代数问题。

2020 上海卷（春考）第 7 题 · 填空

已知直线 $l_{1} : x + a y = 1$ ， $l_{2} : a x + y = 1$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为______。

答案与解析

答案： $2$

思路

先用一般方程的系数确定平行参数，再排除重合，最后统一法向量计算线间距离。

由方向相同求参数
两直线平行，系数行列式 $1 \cdot 1 - a^{2} = 0$ ，所以 $a = \pm 1$ 。这一写法也避免了盲目除以a。
排除重合
当a=1时，两条方程都是 $x + y = 1$ ，两线重合，不符合两条不同平行直线。因此 $a = - 1$ 。
统一系数后求距离
此时两直线为 $x - y - 1 = 0$ 和 $- x + y - 1 = 0$ 。将后一条乘−1，变为 $x - y + 1 = 0$ 。距离为 $\frac{∣1 - ( - 1 ) ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = 2$ 。

易错点

平行与重合不能混为一谈，a=1须排除。
平行线距离公式要求两条方程先把x、y系数统一，不能直接比较原式常数项。

小结

含参直线先判方向，再判位置；线间距离也可化成点到直线距离复核。