2.1 直线的倾斜角与斜率

一条直线有多「斜」？可以用一个角说，也可以用一个数说。有了这个数，两条直线平不平行、垂不垂直，算一算就知道。先从坡道开始。

本节知识点直线倾斜角的范围与方向斜率计算与斜率不存在两条不同直线的平行判定两条直线的垂直判定与例外

第 1 步

从例子进入

四段坡道，量了每段「水平走了多远」和「升高了多少」。先点按钮切换「分开看」与「叠到同一起点」，比一比哪段最陡：

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想一想

哪一段最陡？

看答案与解析

答案：C

C。比一比「每水平走 $1$ 米升高多少」：A 是 $\frac{2}{10} = 0.2$ ，B 是 $\frac{1}{4} = 0.25$ ，C 是 $\frac{2}{5} = 0.4$ ，D 是 $\frac{1}{8} = 0.125$ 。因此 C 最陡。

只看升高多少不行（A 和 C 都升 $2$ 米），要看「升高 ÷ 水平」这个比。坡越陡，这个比越大，坡和地面的夹角也越大。

把坡道换成坐标系里的直线：那个夹角叫倾斜角，那个比叫斜率。这一节讲这两样，再用斜率判断两条直线平行、垂直。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：任意角和正切 $tan α$ ，以及 $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 13 5^{\circ}, 15 0^{\circ}$ 的正切值（回看 5.2）；坐标系里两点的坐标差（回看 6.3）。

互动演示载入中

存在辨析

倾斜角：平面内任何直线都有唯一确定的倾斜角， $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 。水平线 $α = 0^{\circ}$ ，竖直线 $α = 9 0^{\circ}$ 。

斜率： $k = tan α$ 。只有当 $α \neq = 9 0^{\circ}$ 时斜率才存在！竖直线与 $x$ 轴垂直，斜率不存在。

警惕：做题遇到「设直线方程」时，切忌直接设 $y = k x + b$ ，必须优先讨论「斜率不存在（竖直线）」！

关系辨析

两线平行：若斜率存在， $l_{1} ∥ l_{2} ⟺ k_{1} = k_{2}$ 且两线不重合！若两线均垂直于 $x$ 轴且不重合，同样平行。

两线垂直：若斜率均存在， $l_{1} ⊥ l_{2} ⟺ k_{1} k_{2} = - 1$ 。若一条为水平线（ $k = 0$ ）、一条为竖直线（斜率不存在），依然垂直！

口诀：算平行谨防重合漏验，算垂直不忘一横一竖。

2. 斜率：倾斜角的正切

倾斜角 $α \neq = 9 0^{\circ}$ 时，把 $tan α$ 叫这条直线的斜率，记作 $k$ 。

为什么用正切：在直线上往右走 $1$ ，竖直方向变了多少，就是 $tan α$ ——这正是坡道里「升高 ÷ 水平」的那个比。 $α$ 在 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之间，直线往右上走， $k > 0$ ；在 $9 0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之间，往右下走， $k < 0$ ；水平线 $k = 0$ 。

想一想

自己试试：倾斜角为 $15 0^{\circ}$ 的直线，斜率是？

看答案与解析

答案：B

B。 $tan 15 0^{\circ} = - tan 3 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ 。 $15 0^{\circ}$ 比 $9 0^{\circ}$ 大，直线往右下走，斜率一定是负的，A 不对；C 是 $tan 12 0^{\circ}$ ，把 $3 0^{\circ}$ 和 $6 0^{\circ}$ 记混了。

3. 已知两点，求斜率

直线过 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，从 $P_{1}$ 走到 $P_{2}$ ，横向走了 $x_{2} - x_{1}$ ，竖向走了 $y_{2} - y_{1}$ 。两者的比就是斜率：

两个点谁当 $P_{1}$ 都行：分子分母同时变号，比不变。但分子、分母里的点要同一个顺序。

想一想

自己试试：过 $P (2, - 1)$ 、 $Q (- 1, 5)$ 的直线，斜率是？

看答案与解析

答案：B

B。 $k = \frac{5 - ( - 1 )}{- 1 - 2} = \frac{6}{- 3} = - 2$ 。选 A 的同学分子用了 $Q$ 减 $P$ 、分母用了 $P$ 减 $Q$ ，顺序没对齐；选 C 是把横纵坐标的差上下放反了。

4. 用斜率判断平行

两条直线平行，它们的倾斜角相等；倾斜角都不是 $9 0^{\circ}$ 时，正切也相等，就是斜率相等。反过来，斜率相等则倾斜角相等，两条线方向一样——但方向一样的可能是同一条线。

想一想

自己试试： $l_{1}$ 过 $(0, 0)$ 、 $(2, 2)$ ， $l_{2}$ 过 $(0, 3)$ 、 $(3, 6)$ 。两条直线是？

看答案与解析

答案：A

A。 $k_{1} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ ， $k_{2} = \frac{6 - 3}{3 - 0} = 1$ 。 $(0, 3)$ 不在 $l_{1}$ 上（ $l_{1}$ 上横坐标为 $0$ 的点是原点），不重合，所以平行。常见的漏洞：算出 $k_{1} = k_{2}$ 就写「平行」，忘了查重合——这题碰巧对了，练一练里有一道碰不巧的。

5. 用斜率判断垂直

斜率为 $k$ 的直线，往右走 $1$ 、往上走 $k$ ，方向可以用向量 $(1, k)$ 表示。两条直线垂直，就是两个方向向量垂直，数量积为 $0$ ： $(1, k_{1}) \cdot (1, k_{2}) = 1 + k_{1} k_{2} = 0$ 。

想一想

自己试试： $l_{1}$ 的斜率是 $- 3$ ， $l_{2} ⊥ l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率是？

看答案与解析

答案：B

B。 $- 3 \cdot k_{2} = - 1$ ， $k_{2} = \frac{1}{3}$ 。垂直的斜率是「倒数再变号」：选 C 只取了倒数，选 A 只变了号，选 D 是平行时的斜率。

6. 三步破题思维链：直线倾斜角与斜率解题标准动作

第一眼破题信号

审清题目已知信息：是给出直线上两点坐标、倾斜角范围，还是要求两条直线的位置关系（平行/垂直/相交）。若含未知参数，必须立刻警觉：斜率是否存在？

第二步套公式/方法

① 斜率存在时，套用两点斜率公式 $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 与 $k = tan α$ 进行角与斜率互化； ② 平行问题列出方程 $k_{1} = k_{2}$ ；垂直问题列出方程 $k_{1} k_{2} = - 1$ ； ③ 若斜率可能不存在，必须对直线的垂直情况单独讨论（一条竖直、一条水平即垂直；两条皆竖直且横截距不等即平行）。

第三步必查防坑结论

① 平行解得参数后，必须代回原方程验证两线是否重合，重合解坚决剔除！ ② 倾斜角趋近 $9 0^{\circ}$ 时，左侧斜率趋于 $+ \infty$ ，右侧趋于 $- \infty$ ； $9 0^{\circ}$ 处斜率无定义，不能把两侧合成一个递增区间。

7. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

三点共线： $A$ 、 $B$ 、 $C$ 横坐标两两不同时，「 $A B$ 的斜率 $= A C$ 的斜率」就说明三点在同一条线上（两条线方向一样又都过 $A$ ，只能重合）。例 3 查重合用的就是这个。

方向向量：直线上任取两点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ， $P_{1} P_{2} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ 叫它的一个方向向量。斜率存在时， $(1, k)$ 也是方向向量。竖直线的方向向量是 $(0, 1)$ ，用方向向量判断平行、垂直，竖直线不用单独处理。

第 3 步

动手

① 拖两个点，看倾斜角和斜率

拖动 $A$ 、 $B$ （或选中后按方向键，每次一格），直线跟着变。金色角是倾斜角 $α$ ，三角形两条直角边是横向差 $Δ x$ 、竖向差 $Δ y$ 。把 $B$ 拖到 $A$ 正上方看看。

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② 进阶：两条直线，平行、垂直还是重合

$l_{1}$ 过 $A$ 、 $B$ （绿）， $l_{2}$ 过 $C$ 、 $D$ （金棕）。四个点都能拖、都能用方向键。试着摆出平行、垂直、重合，也试试一条竖直、一条水平。下面的按钮直接摆好一种。

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第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

过 $A (- 2, 1)$ 、 $B (1, 4)$ 的直线，斜率和倾斜角是？

看答案与解析

答案：A

A。 $k = \frac{4 - 1}{1 - ( - 2 )} = \frac{3}{3} = 1$ ， $tan α = 1$ 且 $0^{\circ} \leq α < 18 0^{\circ}$ ， $α = 4 5^{\circ}$ 。B 的角和斜率对不上（ $tan 13 5^{\circ} = - 1$ ）；D 只算了 $4 - 1$ ，忘了除以横向差。

想一想

直线 $l_{1}$ 的斜率是 $2$ ， $l_{2}$ 过 $P (1, 1)$ 、 $Q (3, a)$ 。 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。 $P$ 、 $Q$ 横坐标不同， $k_{2} = \frac{a - 1}{3 - 1} = \frac{a - 1}{2}$ 。垂直要 $2 \cdot \frac{a - 1}{2} = - 1$ ， $a - 1 = - 1$ ， $a = 0$ 。选 C 的同学按平行算了（ $\frac{a - 1}{2} = 2$ ）。

易错

想一想

下面说法正确的是？

看答案与解析

答案：C

C。A 错：竖直线倾斜角 $9 0^{\circ}$ ，没有斜率——每条直线都有倾斜角，不一定有斜率。B 错：要 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，比如 $(2, 1)$ 、 $(2, 5)$ 分母是 $0$ 。D 错： $3 0^{\circ}$ 的斜率约 $0.58$ ， $12 0^{\circ}$ 的斜率约 $- 1.73$ ，角大了斜率反而小。

想一想

$l_{1}$ 过 $A (0, 1)$ 、 $B (1, 3)$ ， $l_{2}$ 过 $C (2, 5)$ 、 $D (3, 7)$ 。 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的关系是？

看答案与解析

答案：B

B。 $k_{1} = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2$ ， $k_{2} = \frac{7 - 5}{3 - 2} = 2$ ，斜率相等。但 $A$ 、 $C$ 连线的斜率 $\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2$ ，也是 $2$ ，说明 $C$ 在 $l_{1}$ 上：四个点在同一条线上，是重合，不是平行。斜率相等只说明方向一样，还要排除重合。在「动手」②里点「重合」看一看。

想一想

$l_{1}$ 过 $(2, 1)$ 、 $(2, 5)$ ， $l_{2}$ 过 $(- 1, 3)$ 、 $(4, 3)$ 。 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的关系是？

看答案与解析

答案：B

B。 $l_{1}$ 横坐标都是 $2$ ，是竖直线； $l_{2}$ 纵坐标都是 $3$ ，是水平线。一竖一横，垂直。 $k_{1} k_{2} = - 1$ 只管两条都有斜率的情形，算不了它不代表不垂直，要先看有没有竖直线。

挑战

想一想

$l_{1}$ 过 $A (m, 1)$ 、 $B (- 1, m)$ ， $l_{2}$ 过 $P (1, 2)$ 、 $Q (- 5, 0)$ 。 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。 $k_{2} = \frac{0 - 2}{- 5 - 1} = \frac{1}{3}$ ， $l_{2}$ 有斜率，所以 $l_{1}$ 也得有： $m \neq = - 1$ （ $m = - 1$ 时 $A (- 1, 1)$ 、 $B (- 1, - 1)$ 竖直，不可能和 $l_{2}$ 平行，C 错在这里）。

$k_{1} = \frac{m - 1}{- 1 - m} = \frac{1}{3}$ ，交叉相乘 $3 m - 3 = - 1 - m$ ， $m = \frac{1}{2}$ 。再排除重合： $A (\frac{1}{2}, 1)$ ， $P$ 、 $A$ 连线斜率 $\frac{1 - 2}{\frac{1}{2} - 1} = 2 \neq = \frac{1}{3}$ ， $A$ 不在 $l_{2}$ 上，确实平行。选 B 的同学按垂直列了式（ $\frac{m - 1}{- 1 - m} = - 3$ ）。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2012 上海卷（文科，旧课标）第 4 题 · 填空

若 $n = (2, 1)$ 是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为______（结果用反三角函数值表示）。

答案与解析

答案： $arctan \frac{1}{2}$

思路

方向向量的纵坐标增量除以横坐标增量就是斜率，再用倾斜角范围选定角。

由方向向量求斜率
方向向量横分量2不为零，所以斜率存在， $k = 1/2$ 。
把斜率转为倾斜角
设倾斜角为 $α \in [0, π)$ ，则 $tan α = k = 1/2$ 。因斜率为正， $α \in (0, π /2)$ 。
按原题要求表示答案
$α = arctan (1/2)$ 。这里arctan(1/2)表示“正切值为1/2的锐角”，不是1/tan(1/2)。

易错点

方向向量不是法向量，本题不能把斜率误写成−2。
倾斜角限于[0,π)，不能任意加上整数倍π。

小结

直线方向可由任意非零方向向量表示，方向向量倍乘不改变斜率和倾斜角。

2016 上海春季招生统一文化考试数学（基础部分）第 3 题 · 填空

直线 $y = x - 1$ 与直线 $y = 2$ 的夹角为______。

答案与解析

答案： $\frac{π}{4}$ （45°）

思路

水平线不改变方向，把两直线夹角转为第一条直线的倾斜角。

读出方向
$y = x - 1$ 的斜率 $k_{1} = 1$ 。设其倾斜角为 $α \in [0, π)$ ，则 $tan α = 1$ 。
确定倾斜角
斜率为正，倾斜角在第一象限，故 $α = π /4$ 。
求两直线的夹角
$y = 2$ 是水平直线，与x轴平行，故两直线的锐夹角就是 $π /4$ 。

易错点

常数项−1和2只改变位置，不改变直线方向。
倾斜角和两直线夹角概念不同，本题因另一条线水平才可直接相等。

小结

直线方向由斜率决定，与截距无关。

2017 全国Ⅰ卷（文科）第 20 题 · 解答

设A、B为曲线 $C : y = \frac{x ^{2}}{4}$ 上两点，A与B的横坐标之和为4。求直线AB的斜率。

答案与解析

答案： $k_{A B} = 1$

思路

两点都在同一个函数图象上，把纵坐标差写成平方差再约去横坐标差。

说明斜率存在
A、B是确定直线的两个不同点。由于同一函数图象中横坐标相同会对应同一点，故 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，直线AB不是竖直线。
套用两点斜率
$k_{A B} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{4 ( x _{2} - x _{1} )}$ 。
利用平方差和已知和
约去非零的 $x_{2} - x_{1}$ ，得 $k_{A B} = \frac{x _{1} + x _{2}}{4} = 1$ 。

易错点

约分前先说明两点横坐标不同，排除除以零。
只需函数图象和初中平方差，不必借用尚未学的导数切线。

小结

二次函数图象上两点连线的斜率可用横坐标之和表达。