3.1 椭圆

从圆的一个圆心，到椭圆的两个焦点：固定一根无弹性细绳的两端，用笔尖把绳子绷紧绕一圈，画出来的对称饱满曲线就是椭圆。到两焦点距离之和恒为定值 $2 a$ ，这一几何核心决定了它的标准方程、扁平程度与全部性质。

本节知识点椭圆定和定义与退化边界椭圆标准方程、焦轴及参数椭圆范围、对称、顶点与离心率点与标准椭圆的位置检验直线与椭圆的联立判定椭圆焦半径关系的推导拓展椭圆第二定义的条件化拓展曲线方程、轨迹双向验证与方法选择椭圆定和情境的简单建模

第 1 步

从例子进入

木工师傅画椭圆时，把两颗图钉 $F_{1}, F_{2}$ 钉在板上（相距 $6 cm$ ），系上一根无弹性细绳，用笔尖 $P$ 把绳子向外绷紧绕一圈。先点下面的按钮，对比「绳长 $10 cm$ 」和「绳长刚好 $6 cm$ 」时笔尖能去哪里：

互动演示载入中

想一想

如果换用一根长度正好只有 $6 cm$ 的无弹性绳子，两端依然固定在相距 $6 cm$ 的两颗图钉上，笔尖拉直绳子尝试画图，最终能在纸上留下怎样的图形？

看答案与解析

答案：B

B。两颗图钉间的直线距离为 $6 cm$ ，绳长也恰好为 $6 cm$ 。

当笔尖把绳子绷直时，笔尖到两颗图钉的距离之和等于 $6 cm$ 。根据公理「两点之间线段最短」，平面内到两定点距离之和等于两定点间距的点，只能位于两图钉连接的线段上！只要笔尖稍微偏离这条线段，它与两图钉就会构成一个三角形，两边之和必然大于第三边（即大于 $6 cm$ ），长度为 $6 cm$ 的绳子根本够不着。

因此轨迹退化成了一条线段，无法张开成椭圆。要想画出真正的、饱满的椭圆，绳长必须严格大于两定点间的距离（ $2 a > 2 c$ ）！这正是本节要深入探讨的椭圆定义与几何本质。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：直角坐标系、两点间距离公式（回看 2.3）。

互动演示载入中

参数辨析

勾股实质：短轴端点到两焦点距离均为 $a$ ，与原点、焦点围成直角三角形，斜边为 $a$ ，两直角边为 $b, c$ ！

核心等式： $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ （ $a$ 最大，绝不可与双曲线 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 混淆！）。

口诀：椭圆里长轴半长 $a$ 称王， $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 。

定义临界

三态蜕变：平面内到两定点距离之和 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ ： ① $2 a > 2 c$ ⟹ 轨迹为椭圆； ② $2 a = 2 c$ ⟹ 轨迹蜕化为线段 $F_{1} F_{2}$ ； ③ $2 a < 2 c$ ⟹ 两边之和小于第三边，无轨迹（空集）！

高考防坑：解题读到「到两点距离之和为常数」，第一反应必先核验 $2 a > 2 c$ ！

2. 定义：绳长要比两钉间距长

椭圆：平面内到两个定点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和等于常数 $2 a$ ，并且 $2 a$ 大于 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c$ 的点的轨迹。

为什么要加「大于」：三角形两边之和大于第三边，所以任何点都有 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ \geq ∣ F_{1} F_{2} ∣$ ，等号只在 $P$ 落在线段 $F_{1} F_{2}$ 上时成立。常数 $2 a$ 和 $2 c$ 比一比，结果就分成三种：

想一想

自己试试： $F_{1} (0, - 5)$ ， $F_{2} (0, 5)$ ，动点 $P$ 满足 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 8$ 。 $P$ 的轨迹是？

看答案与解析

答案：C

C。 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 5 - (- 5) = 10$ ，而和只有 $8$ ， $8 < 10$ ，到两点距离之和不可能比两点间距还小。选 A 是一看到「距离之和为常数」就说椭圆，没先拿常数和 $∣ F_{1} F_{2} ∣$ 比；常见的还有把 $∣ F_{1} F_{2} ∣$ 算成 $5$ （漏了它是 $2 c$ ），误以为 $8 > 5$ 。

3. 标准方程：焦点在哪条轴

以两焦点连线为一条坐标轴、线段 $F_{1} F_{2}$ 的中点为原点建系。移项整理得到标准方程：

想一想

自己试试：椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 4$ 的焦点坐标是？

看答案与解析

答案：B

B。两边除以 $4$ ： $x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ ，即 $\frac{x ^{2}}{1} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 。 $y^{2}$ 的分母 $4$ 大，焦点在 $y$ 轴上， $a^{2} = 4$ ， $b^{2} = 1$ ， $c^{2} = 4 - 1 = 3$ 。选 A 是没化成标准形式，把系数 $4$ 当成了 $x^{2}$ 的分母；选 C 是把 $c^{2}$ 算成了 $a^{2} + b^{2}$ 。

4. 几何性质： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和离心率

从方程 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）直接读出：

范围： $- a \leq x \leq a$ ， $- b \leq y \leq b$ 。关于两坐标轴及原点对称。
顶点： $(\pm a, 0)$ 、 $(0, \pm b)$ ，长轴长 $2 a$ ，短轴长 $2 b$ 。

想一想

自己试试：已知椭圆长轴长为 $8$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则短轴长为？

看答案与解析

答案：A

A。长轴长 $2 a = 8 ⟹ a = 4$ 。 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ⟹ c = 2$ 。 $b = a^{2} - c^{2} = 16 - 4 = 23$ ，短轴长为 $2 b = 43$ 。选 B 的同学停在了半短轴 $b$ ；选 C 是误把 $c$ 当成了 $b$ 。

5. 直线与椭圆位置关系

直线与椭圆联立，消元得到一元二次方程，用判别式 $Δ$ 判断： $Δ > 0$ 相交； $Δ = 0$ 相切； $Δ < 0$ 相离。弦长可利用韦达定理： $L = 1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ 。

想一想

自己试试：直线 $x = 1$ 被椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 截得的弦长是？

看答案与解析

答案：B

B。 $x = 1$ 直接代入： $\frac{y ^{2}}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ， $y^{2} = \frac{9}{4}$ ， $y = \pm \frac{3}{2}$ 。弦长为 $\frac{3}{2} - (- \frac{3}{2}) = 3$ 。竖直线直接代入最快。

6. 三步破题思维链：椭圆标准解题动作

第一眼破题信号

审清几何条件：是给出焦点坐标、长短轴长、离心率，还是动点到两定点距离之和。若为方程形式，必须先化成右侧为 1 的标准形式，比较 $x^{2}, y^{2}$ 分母确定焦点轴向。

第二步套公式/方法

① 基础参数互化：牢记 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 与 $e = \frac{c}{a} = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ ； ② 焦点三角形问题：套用 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ 结合余弦定理，或直接使用面积公式 $S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ； ③ 直线与椭圆相交：联立消元，写出判别式 $Δ > 0$ ，韦达定理结合弦长公式 $L = 1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ 。

第三步必查防坑结论

① 焦距是 $2 c$ 绝非 $c$ ，长轴长是 $2 a$ 绝非 $a$ ，审题千万别把半轴长当成轴长！ ② 动点轨迹到两点距离之和为定值时，若 $2 a = 2 c$ 则轨迹蜕化为线段，切勿直接盲写椭圆！

7. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

再深一点：焦半径与焦点三角形面积公式（可以先跳过）

① 焦半径公式：焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 到两焦点的距离为： $∣ P F_{1} ∣ = a + e x_{0}, ∣ P F_{2} ∣ = a - e x_{0}$ 。

② 焦点三角形面积公式：若 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ （由余弦定理推导）。

第 3 步

动手

双焦点拉线与椭圆微实验室

拖动椭圆上的动点 $P$ （或按键盘方向键），观察双焦半径 $P F_{1}$ （绿线）与 $P F_{2}$ （金线）的变化；下方实时展示「拉直绳线对比条」，直观验证无论 $P$ 滑到哪里，两段距离之和恒等于 $2 a$ 。调节滑块观察离心率 $e$ 和扁平度；点击预设反例查看 $2 a = 2 c$ 时椭圆如何退化为线段。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两题检验标准方程与基本量计算，后三题针对高考与诊断中最常踩的五大陷阱。

直接用

想一想

已知椭圆方程为 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ ，则该椭圆的长轴长、焦距和离心率分别为？

看答案与解析

答案：A

A。比较分母： $25 > 16$ ，所以 $a^{2} = 25 ⟹ a = 5$ ， $b^{2} = 16 ⟹ b = 4$ 。

由 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 得 $c^{2} = 25 - 16 = 9 ⟹ c = 3$ 。

因此长轴长为 $2 a = 10$ （不是 $a = 5$ ）；焦距为 $2 c = 6$ （不是 $c = 3$ ）；离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6$ 。

选 B 的同学错把半长轴和半焦距当成了长轴长与焦距；选 C 的同学误把小分母当成了长半轴。

想一想

已知点 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在该椭圆上运动。若 $∣ P F_{1} ∣ = 7$ ，则 $∣ P F_{2} ∣$ 的长度为？

看答案与解析

答案：B

B。直接用定义：方程中 $a^{2} = 25 ⟹ a = 5$ ，因此定值 $2 a = 10$ 。

验证焦距： $c = 25 - 9 = 4$ ，两焦点恰为 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ 。根据椭圆的第一定义，椭圆上的任意点 $P$ 到两焦点距离之和恒等于 $2 a$ ：

$∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a = 10$

代入已知 $∣ P F_{1} ∣ = 7$ ，解得 $∣ P F_{2} ∣ = 10 - 7 = 3$ 。选 A 的同学误以为焦半径之差为定值（混淆了双曲线）。

易错

想一想

（边界 1：定义退化）平面内动点 $P$ 到两定点 $F_{1} (- 3, 0), F_{2} (3, 0)$ 的距离之和满足 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 6$ ，则点 $P$ 的轨迹是？

看答案与解析

答案：B

B。计算两定点间距离： $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 3 - (- 3) = 6$ 。

条件中距离之和 $2 a = 6$ ，此时恰好满足 $2 a = 2 c = 6$ ！

根据公理「两点之间线段最短」，当且仅当点 $P$ 在线段 $F_{1} F_{2}$ 上时，才满足 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = ∣ F_{1} F_{2} ∣ = 6$ 。若 $P$ 不在连线段上，由三角形两边之和大于第三边，距离之和必定严格大于 $6$ 。

因此轨迹退化成了线段 $F_{1} F_{2}$ ，不是椭圆！只有满足 $2 a > 2 c$ 时，轨迹才是真正的椭圆。如果 $2 a < 2 c$ ，则无轨迹。

想一想

（边界 3：含参方程与焦点轴向）方程 $\frac{x ^{2}}{m + 2} + \frac{y ^{2}}{5 - m} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是？

看答案与解析

答案：C

C。表示椭圆且焦点在 $y$ 轴上，必须同时满足三个硬性条件：

$x^{2}$ 项的分母必须大于 $0$ ： $m + 2 > 0 ⟹ m > - 2$ ；
$y^{2}$ 项的分母必须大于 $0$ ： $5 - m > 0 ⟹ m < 5$ ；
焦点在 $y$ 轴要求 $y^{2}$ 项分母严格大于 $x^{2}$ 项分母： $5 - m > m + 2 ⟹ 2 m < 3 ⟹ m < 1.5$ 。

取三者交集，解得 $- 2 < m < 1.5$ 。

选 A 的同学忽略了焦点必须在 $y$ 轴（只列了分母为正）；选 B 的同学漏掉了 $m + 2 > 0$ （当 $m \leq - 2$ 时分母非正，根本不是椭圆）；选 D 的同学把焦点算到 $x$ 轴上了。

想一想

（边界 2 & 4 & 5：几何量混淆与短轴长）已知椭圆的两个焦点间的距离是 $8$ ，椭圆的离心率 $e = \frac{4}{5}$ ，则该椭圆的短轴长为？

看答案与解析

答案：B

B。抓住词条的核心定义：

两焦点间的距离是焦距 $2 c = 8 ⟹ c = 4$ （警惕：不能误记为 $c = 8$ ！）；
由 $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ ，得半长轴 $a = \frac{c}{e} = \frac{4}{4/5} = 5$ ；
由椭圆几何量关系 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ （ $a$ 是老大！），得 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 16 = 9 ⟹ b = 3$ ；
题目问的是短轴长，短轴长是 $2 b = 2 \times 3 = 6$ （易错陷阱： $b = 3$ 是半短轴长，不是短轴长！）。

选 A 的同学在最后一步把半短轴长 $b = 3$ 当作了短轴长；选 C 的同学算出了长轴长 $2 a = 10$ 。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2023 新课标Ⅰ卷第 5 题 · 单选

设椭圆 $C_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ， $C_{2} : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ 。若 $e_{2} = 3 e_{1}$ ，则 $a =$

看答案与解析

答案：A

先认准半轴，用 $e^{2} = 1 - b^{2} / a^{2}$ 消掉根号。

读出半轴

因 $a > 1$ ， $e_{1}^{2} = 1 - 1/ a^{2}$ ；而 $e_{2}^{2} = 1 - 1/4 = 3/4$ 。

平方并求解

$e_{2} = 3 e_{1}$ 平方得 $3/4 = 3 (1 - 1/ a^{2})$ ，故 $a^{2} = 4/3$ 。

保留符合条件的根

由 $a > 1$ ， $a = 23 /3$ ，选A。

离心率关系可转化为长短半轴的比。

2023 新课标Ⅱ卷第 5 题 · 单选

已知椭圆 $C : \frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y = x + m$ 与C交于A、B两点。若 $△ F_{1} A B$ 面积是 $△ F_{2} A B$ 面积的2倍，则 $m =$

看答案与解析

答案：C

共用底边AB，面积比就是焦点到直线的距离比。

写距离比

左右焦点到直线的距离为 $∣ m - 2 ∣/ 2$ 、 $∣ m + 2 ∣/ 2$ 。所以 $∣ m - 2 ∣ = 2∣ m + 2 ∣$ 。

解绝对值方程

平方得 $3 m^{2} + 102 m + 6 = 0$ ，解得 $m = - 2 /3$ 或 $m = - 32$ 。

检查有两个交点

把直线代入椭圆得 $4 x^{2} + 6 m x + 3 m^{2} - 3 = 0$ ，判别式 $48 - 12 m^{2} > 0$ ，即 $∣ m ∣ < 2$ 。只保留 $m = - 2 /3$ ，选C。

共底面积比用高的比，可省去求交点坐标。

3.1 椭圆

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词

2. 定义：绳长要比两钉间距长

3. 标准方程：焦点在哪条轴

4. 几何性质：a、b、c 和离心率

5. 直线与椭圆位置关系

6. 三步破题思维链：椭圆标准解题动作

7. 三大翻车现场与反例辨析

动手

双焦点拉线与椭圆微实验室

练一练

直接用

易错

高考真题

4. 几何性质： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和离心率