2.4 圆的方程

圆就是「到一个点距离一样」的所有点。把这句话用两点距离公式写出来，就得到圆的方程；再学会从方程里读出圆心和半径。

本节知识点圆的定距定义与正半径圆的标准方程与由条件求圆圆的一般方程与实圆条件简单圆轨迹的范围与反向验证

第 1 步

从例子进入

草地上钉一根木桩，小狗用 $5$ 米长的绳子拴在上面。以木桩为原点建坐标系，单位是米。点下面的按钮，试试把绳子牵向四个不同的点：

互动演示载入中

想一想

小狗把绳子拉直时，它可能站在下面哪个点？

看答案与解析

答案：A

A。算到原点的距离： $(3, 4)$ 是 $9 + 16 = 5$ ； $(4, 4)$ 是 $32 \approx 5.66$ ； $(5, 5)$ 是 $50 \approx 7.07$ ； $(2, 3)$ 是 $13 \approx 3.61$ 。只有 A 正好是 $5$ 。

绳子拉直时，小狗到木桩的距离总是 $5$ ，它能站的点连起来是一个圆。点 $(x, y)$ 在这个圆上，就是 $x^{2} + y^{2} = 5$ ，也就是 $x^{2} + y^{2} = 25$ 。

这一节就讲：怎样用一个方程表示圆，怎样从方程看出圆心、半径，以及什么样的方程不是圆。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：两点间的距离公式 $∣ A B ∣ = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$ （回看 2.3）；初中学过的配方。

互动演示载入中

形式辨析

标准方程： $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 。几何要素一目了然，圆心 $(a, b)$ 、半径 $r$ 直读，判别点圆位置极其便利。

一般方程： $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 。展开齐次形式，最适合已知不共线三点代入解三元一次线性方程组。

设方程准则：已知几何特征（圆心、弦长、相切）设标准式；已知三个点坐标设一般式。

判别式辨析

充要条件： $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 表示圆的充要条件是 $Δ = D^{2} + E^{2} - 4 F > 0$ ！

三态蜕变： $Δ > 0$ 为圆； $Δ = 0$ 蜕化为单点 $(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$ ； $Δ < 0$ 无实数点。

警惕：方程含参数求为圆时，必须严格解不等式 $D^{2} + E^{2} - 4 F > 0$ ！

2. 圆的标准方程

圆心 $C (a, b)$ ，半径 $r$ 。点 $P (x, y)$ 在圆上，就是 $∣ P C ∣ = r$ ，用距离公式写出来是 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ 。两边都不是负数，平方后意思不变：

读方程时注意符号：括号里是「减圆心」。 $(x + 1)^{2}$ 就是 $(x - (- 1))^{2}$ ，圆心横坐标是 $- 1$ 。右边是 $r^{2}$ ，半径要开方。

点和圆的位置也靠它看：把点代进左边，和 $r^{2}$ 比，大于就在圆外，等于在圆上，小于在圆内（其实就是比点到圆心的距离和 $r$ ）。

想一想

自己试试：圆 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ 的圆心和半径是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(y + 2)^{2} = (y - (- 2))^{2}$ ，圆心纵坐标是 $- 2$ ； $r^{2} = 9$ ， $r = 3$ 。选 B 是把两个符号都弄反了；选 C 忘了开方， $9$ 是 $r^{2}$ 。

3. 圆的一般方程

把标准方程展开： $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - r^{2}) = 0$ 。记 $D = - 2 a$ ， $E = - 2 b$ ， $F = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ ，就是

反过来，拿到这样一个方程，对 $x$ 、 $y$ 分别配方：

$(x + \frac{D}{2})^{2} + (y + \frac{E}{2})^{2} = \frac{D ^{2} + E ^{2} - 4 F}{4}$

左边是两个平方的和，不会是负数。所以要看右边：

想一想

自己试试： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 的圆心和半径是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = 4 + 1 + 4$ ，即 $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ 。选 C 是配方时只加了常数 $4$ ，忘了把补进去的 $1$ 和 $4$ 也加到右边；选 B 是圆心符号反了。

4. 求圆的方程：先设，再解

标准方程有 $a, b, r$ 三个未知数，一般方程有 $D, E, F$ 三个，所以一般要三个条件。选哪种设法看条件：

条件和圆心、半径有关（圆心在某条线上、和某点距离多少）→ 设标准方程。
给了圆上三个点 → 设一般方程，代入得到关于 $D, E, F$ 的一次方程组，好解。

想一想

自己试试：过 $(0, 0)$ 、 $(2, 0)$ 、 $(0, 6)$ 三点的圆，圆心是？

看答案与解析

答案：A

A。 $F = 0$ ； $4 + 2 D = 0$ ， $D = - 2$ ； $36 + 6 E = 0$ ， $E = - 6$ 。圆心 $(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2}) = (1, 3)$ 。选 B 是直接拿 $(\frac{D}{2}, \frac{E}{2})$ 当圆心，少了负号；选 C 把 $- D$ 、 $- E$ 当成了圆心。

5. 简单的轨迹

「点按某个规则动，它走过的路线是什么」，求的就是轨迹方程。做法：设动点 $M (x, y)$ ，把规则翻译成 $x, y$ 的等式，化简。最后还要回头查：方程上的点是不是都符合规则（多出来的点要去掉）。

想一想

自己试试：点 $P$ 到 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 的距离的平方和是 $10$ ， $P$ 的轨迹方程是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(x + 1)^{2} + y^{2} + (x - 1)^{2} + y^{2} = 10$ ，展开 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 = 10$ ，所以 $x^{2} + y^{2} = 4$ 。选 B 是展开时把两个 $1$ 丢了。

6. 三步破题思维链：求圆方程与判别式解题标准动作

第一眼破题信号

审清几何条件：是给出圆心、半径，圆与直线相切，还是给出圆上不共线的三点坐标。若方程含参数且提问「何时表示圆」，立刻联想到判别式 $Δ = D^{2} + E^{2} - 4 F$ 。

第二步套公式/方法

① 条件涉及圆心、半径、距离时：设标准方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ； ② 条件给出圆上三点坐标时：设一般方程 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，联立解三元一次线性方程组； ③ 含参数判别式：列出 $D^{2} + E^{2} - 4 F > 0$ 求解参数取值范围。

第三步必查防坑结论

① 标准方程右边是 $r^{2}$ ，回答半径必须开平方根！ ② 动点轨迹求出后，必须核验几何边界条件，剔除三点共线等不合题意的空心退化点。

7. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

为什么「平方」不会多出点： $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ 两边都不小于 $0$ ，所以平方前后等价。要是右边可能是负数，平方就会多出解，这也是标准方程要求 $r > 0$ 的原因之一。

圆心在已知直线上：比如「圆心在 $y = x$ 上，过 $(0, 0)$ 和 $(2, 0)$ 」，设 $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = r^{2}$ ，两个条件联立解出 $a = 1, r^{2} = 2$ 。

第 3 步

动手

① 拖圆心和半径点，看两种方程

拖动圆心 $C$ 或圆上的点 $P$ （也可以点一下再按方向键），两个点都停在格点上。看标准方程和展开后的一般方程一起变。

互动演示载入中

② 进阶：调 D、E、F，什么时候不是圆

方程 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 。拉动三个滑块，看 $D^{2} + E^{2} - 4 F$ 的正负：正的画圆，等于 $0$ 只剩一个点，负的一个点都没有。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

圆心 $(- 2, 1)$ 、半径 $3$ 的圆，一般方程是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ，展开 $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 = 9$ ，移项得 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ 。B 是圆心符号反了；C 把 $9$ 加到了左边（应该减）；D 减的是 $3$ ，忘了右边是 $r^{2} = 9$ 。

想一想

圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ 的圆心和半径是？

看答案与解析

答案：A

A。 $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9 + 16 = 25$ ，半径 $5$ 。半径由 $D^{2} + E^{2} - 4 F = 36 + 64 - 0 = 100$ 决定，不是看常数项： $F = 0$ 只说明圆过原点（ $0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$ ）。

易错

想一想

方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ 表示什么？

看答案与解析

答案：B

B。 $D^{2} + E^{2} - 4 F = 4 + 16 - 20 = 0$ 。配方： $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 + 4 - 5 = 0$ ，两个平方加起来是 $0$ ，只能都是 $0$ ，只有 $(1, - 2)$ 一个点。选 A 是没算 $D^{2} + E^{2} - 4 F$ 就当成了圆。可以在「动手」②里点按钮看看。

想一想

下面哪一个方程表示圆？

看答案与解析

答案：C

C。两边除以 $2$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ ， $D^{2} + E^{2} - 4 F = 4 + 16 - 4 = 16 > 0$ ，是圆心 $(1, - 2)$ 、半径 $2$ 的圆。

A： $x^{2}$ 、 $y^{2}$ 系数不相等。B：有 $x y$ 项。D：样子对，但 $4 + 0 - 16 = - 12 < 0$ ，没有点。

想一想

经过 $(1, 1)$ 、 $(2, 2)$ 、 $(3, 3)$ 三点的圆有几个？

看答案与解析

答案：C

C。三点都在直线 $y = x$ 上。代入一般方程： $2 + D + E + F = 0$ ， $8 + 2 D + 2 E + F = 0$ ， $18 + 3 D + 3 E + F = 0$ 。前两式相减得 $D + E = - 6$ ，后两式相减得 $D + E = - 10$ ，矛盾。一条直线和一个圆最多两个公共点，所以「三点定一圆」要求三点不共线。

挑战

想一想

$A (0, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ， $△ A B C$ 中 $∣ C A ∣ = ∣ A B ∣$ 。顶点 $C$ 的轨迹是？

看答案与解析

答案：C

C。 $∣ C A ∣ = ∣ A B ∣ = 2$ ，所以 $x^{2} + y^{2} = 4$ 。还要 $A, B, C$ 能构成三角形， $C$ 不能在直线 $A B$ （ $x$ 轴）上。圆和 $x$ 轴交于 $(2, 0)$ 和 $(- 2, 0)$ ：前一个和 $B$ 重合，后一个让三点共线，都要去掉。

B 只想到了和 $B$ 重合； $(0, \pm 2)$ 构成直角三角形，没问题，不用去掉。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2018 天津卷（文科）第 12 题 · 填空

在平面直角坐标系中，经过三点 $(0, 0)$ 、 $(1, 1)$ 、 $(2, 0)$ 的圆的方程为______。

答案与解析

答案： $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ （即 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ）

思路

圆过三点，可以在一般方程中逐点代入求三个待定系数。

由原点求常数项
代入 $(0, 0)$ ，得 $F = 0$ 。
由另外两点求系数
代入 $(2, 0)$ ，得 $4 + 2 D = 0$ ，故 $D = - 2$ 。代入 $(1, 1)$ ，得 $2 + D + E = 0$ ，故 $E = 0$ 。
配方写标准式
所以圆为 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，配方得 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 。圆心 $(1, 0)$ ，半径1。

易错点

圆的一般方程中x²和y²系数应相同且没有xy项。
求出系数后还要确认半径平方为正，而非退化为点或无实点。

小结

三点定圆可用待定系数求解，标准式便于核查圆心和半径。

2021 上海卷（秋考）第 3 题 · 填空

若 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ ，则圆心坐标为______。

答案与解析

答案： $(1, 2)$

思路

分别对x项和y项配方，圆心坐标藏在平方括号里。

分别配方
$x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ ， $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ 。
移项为标准式
原方程化为 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ 。
读圆心
与 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 对照，圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $5$ 。

易错点

括号里是x−1、y−2，圆心为(1,2)，不要反号。
不能直接把一次项系数−2、−4当圆心坐标。

小结

圆的一般式中，圆心坐标是一次项系数取负后的一半。