6.4 平面向量的应用

用向量推导出正弦定理、余弦定理，把三角形的边和角联结起来；解决实际中的距离、角度和测量问题。先从一个无法直接测量的距离开始。

本节知识点向量探究中的猜想与证明用向量证明平面几何关系力与位移的向量合成恒力做功与数量积余弦定理与三边判角正弦定理与边角对应SSA的无解、一解与两解检验三角形面积的边角公式测量问题的三角形建模面积加权的向量关系（奔驰定理）

第 1 步

从例子进入

两根木棒由同一点 $C$ 铰接，长度分别为 $a = 3 米$ 和 $b = 5 米$ 。若两木棒垂直（夹角 $9 0^{\circ}$ ），两端点距离由勾股定理得 $3^{2} + 5^{2} = 34 \approx 5.83 米$ 。先点按钮把夹角缩到 $6 0^{\circ}$ 看看：

互动演示载入中

想一想

如果把两根木棒的夹角从 $9 0^{\circ}$ 缩小到 $6 0^{\circ}$ ，两端点之间的距离会如何变化？

看答案与解析

答案：B

B。夹角缩小，两端点相互靠拢，距离必然变小！

初中的勾股定理 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 只能算夹角恰为 $9 0^{\circ}$ 的直角三角形。当夹角不是直角时，缩短或延长的距离究竟由谁决定？

本节要学的余弦定理给出了精确回答： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。当 $C = 6 0^{\circ}$ 时， $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，得到 $c^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \times 3 \times 5 \times \frac{1}{2} = 9 + 25 - 15 = 19$ ，距离 $c = 19 \approx 4.36 米$ ，确实比 $5.83 米$ 更短！

这一节我们就用平面向量为工具，把直角三角形的边角关系推广到任意三角形，推导出余弦定理与正弦定理。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：前面学过的平面向量数量积与模长运算（回看 6.2）；特殊角的三角函数值与诱导公式（回看 5.2、5.3）。

互动演示载入中

神器 ①

正弦定理：对边对角之比等于外接圆直径 2R

边角互化： $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ 。已知两角一边（AAS/ASA）必选；已知两边一对角（SSA）求角时需警惕一锐一钝两解！

神器 ②

余弦定理：向量数量积与广义勾股定理

无多解歧义： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。已知两边夹角（SAS）求第三边；已知三边（SSS）求内角余弦。 $cos C$ 符号直接定胜负：正锐、零直、负钝。

2. 核心公式与边角互化法则

想一想

自己试试：在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 6 0^{\circ}$ ，边 $c$ 的长度是？

看答案与解析

答案：A

A。由余弦定理： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 2^{2} + 3^{2} - 2 (2) (3) cos 6 0^{\circ} = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$ 。故 $c = 7$ 。

想一想

自己试试：在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b = 4$ ，夹角 $C = 3 0^{\circ}$ ，三角形的面积 $S$ 是？

看答案与解析

答案：A

A。面积 $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times sin 3 0^{\circ} = 6 \times \frac{1}{2} = 3$ 。选 B 的漏乘了 $\frac{1}{2}$ ；选 C 的误套成了余弦。

3. 典型例题：三步思维链精讲

例 3（高频考法·方程法求未知边与面积）

在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $b = 1$ ， $A = 12 0^{\circ}$ 。求：① 边 $c$ 的长度；② $△ A B C$ 的面积 $S$ 。

第一眼·破题信号

已知两边及其中一边的对角（钝角 $A = 12 0^{\circ}$ ）求第三边 $c$ → 核心破题信号：余弦定理设未知数列一元二次方程（无多解歧义），解出后算面积！

第二步·套公式拆解

① 列余弦定理方程： $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ； $(3)^{2} = 1^{2} + c^{2} - 2 (1) (c) cos 12 0^{\circ} ⟹ 3 = 1 + c^{2} - 2 c (- \frac{1}{2})$ ；化简得 $c^{2} + c - 2 = 0 ⟹ (c + 2) (c - 1) = 0$ ；因边长 $c > 0$ ，舍去负根得 $c = 1$ （此时 $△ A B C$ 为等腰三角形！）； ② 计算三角形面积： $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ 。

第三步·必查防坑点

① 钝角余弦值为负（ $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ）， $- 2 b c cos A$ 负负得正变 $+ c$ ，符号千万不能错； ② 边长必须为正数，解二次方程后负根 $c = - 2$ 坚决舍弃； ③ 验证三角形不等式： $b = 1, c = 1, a = 3 \approx 1.732$ ， $1 + 1 > 3$ ，两边之和大于第三边成立。

4. 这三种情况最容易翻车

再深一点（可以先跳过）

射影定理与余弦定理互推：从点 $A$ 向对边 $B C$ 作高，底边分为两段投影： $a = b cos C + c cos B$ 。同理有 $b = c cos A + a cos C$ ， $c = a cos B + b cos A$ 。将三式分别乘 $a, b, c$ 后两两相减，即可直接得出余弦定理！

向量直角坐标系推导：以 $C$ 为原点， $C B$ 为 $x$ 轴，则 $C (0, 0)$ ， $B (a, 0)$ ， $A (b cos C, b sin C)$ 。由两点间距离公式展开 $c^{2} = (b cos C - a)^{2} + (b sin C)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。代数、几何与向量在此完美统一。

第 3 步

动手

① 任意三角形：拖动顶点，实时验证正余弦定理

拖动顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ （或用 Tab 聚焦后按键盘方向键移动），观察三边长、三个内角、外接圆直径 $2 R$ 的数值变化，实时核对正弦定理与余弦定理。

互动演示载入中

② 进阶：两边及一对角（SSA）为什么会出现两解、一解或无解

固定角 $A = 3 0^{\circ}$ ，固定边 $A C = b = 6.0$ 。滑动改变对边 $a$ 的长度，观察以点 $C$ 为圆心、半径为 $a$ 的圆与底边射线的交点情况。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用公式，中间三道是解三角形最容易踩的坑，最后一道是综合挑战。

直接用

想一想

在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b = 5$ ， $C = 6 0^{\circ}$ ，边 $c$ 的长度是？

看答案与解析

答案：A

A。根据余弦定理： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$ ，开方得 $c = 19$ 。

选 B 的同学将减号算成了加号（ $34 + 15 = 49 = 7^{2}$ ）；选 C 的同学当作直角三角形漏掉了余弦项；选 D 忘了开方。

想一想

在 $△ A B C$ 中， $A = 3 0^{\circ}$ ， $B = 4 5^{\circ}$ ，边 $a = 4$ ，则边 $b$ 的长及外接圆直径 $2 R$ 分别是？

看答案与解析

答案：A

A。由正弦定理 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = 2 R$ 。外接圆直径 $2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{4}{1/2} = 8$ ；边 $b = 2 R sin B = 8 sin 4 5^{\circ} = 8 \times \frac{2}{2} = 42$ 。

选 B 的同学把外接圆直径 $2 R$ 误当成半径 $R$ 来算。

易错

想一想

在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $B = 4 5^{\circ}$ ，则角 $A$ 的大小为？

看答案与解析

答案：C

C。由正弦定理： $sin A = \frac{a sin B}{b} = \frac{3 sin 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{2}{2}}{2} = \frac{3}{2}$ 。

在 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 内，正弦值为 $\frac{3}{2}$ 的角有两个： $6 0^{\circ}$ 与 $12 0^{\circ}$ 。

必须用「大边对大角」检验： $a = 3 > 2 = b$ ，因此要求 $A > B = 4 5^{\circ}$ 。若 $A = 6 0^{\circ}$ ， $A + B = 10 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ ；若 $A = 12 0^{\circ}$ ， $A + B = 16 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ 。两解均合法！选 A 的同学掉入了「只取锐角」的典型陷阱。

想一想

在 $△ A B C$ 中，已知三边长分别为 $a = 3, b = 5, c = 8$ ，求角 $C$ 的度数。

看答案与解析

答案：D

D。若盲目代入余弦定理： $cos C = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 3 \times 5} = \frac{34 - 64}{30} = - 1$ ，容易误以为 $C = 18 0^{\circ}$ （选 A）。

但是三角形任意内角都必须严格在 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 之间！更根本的前提是：两边之和必须大于第三边。而 $3 + 5 = 8 = c$ ，三点共线退化，根本围不成三角形。做解三角形题必须先检查三边能否构成三角形。

想一想

在 $△ A B C$ 中，若三边满足 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 一定是？

看答案与解析

答案：A

A。由余弦定理： $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ 。因为 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，分子为负数，分母 $2 ab > 0$ ，所以 $cos C < 0$ 。

在三角形内角范围 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 内，余弦为负的角只能在第二象限，因此角 $C$ 必然是钝角！

注意：反过来若只说「三角形是钝角三角形」，不能直接断定 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，除非已知 $c$ 是最长边。

挑战

想一想

在 $△ A B C$ 中，已知边 $b = 2$ ， $c = 3$ ，且三角形面积 $S = \frac{3 3}{2}$ ，则边 $a$ 的值为？

看答案与解析

答案：C

C。由面积公式 $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times sin A = 3 sin A = \frac{3 3}{2} ⟹ sin A = \frac{3}{2}$ 。

在三角形内，正弦值为 $\frac{3}{2}$ 的角有 $A = 6 0^{\circ}$ 或 $A = 12 0^{\circ}$ 两种可能！

若 $A = 6 0^{\circ}$ ： $a^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \times 2 \times 3 \times cos 6 0^{\circ} = 13 - 6 = 7 ⟹ a = 7$ ；
若 $A = 12 0^{\circ}$ ： $a^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \times 2 \times 3 \times cos 12 0^{\circ} = 13 - (- 6) = 19 ⟹ a = 19$ 。

两种情形下的边长与角度均满足三角形存在条件，故边 $a$ 的值为 $7$ 或 $19$ 。选 A 的同学又忽略了钝角解。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2011 浙江卷（文科，旧课标）第 15 题 · 填空

若平面向量 $α, β$ 满足 $∣ α ∣ = 1$ ， $∣ β ∣ \leq 1$ ，且以向量 $α, β$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $α$ 和 $β$ 的夹角 $θ$ 的范围是______。

答案与解析

答案： $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$

思路

把面积写为相邻两边长度乘夹角正弦，再用边长不超过1约束角。

从面积得到等式
设 $r = ∣ β ∣$ 。面积为 $∣ α ∣∣ β ∣ sin θ = r sin θ = 1/2$ ，所以 $r > 0$ 、 $0 < θ < π$ 。
利用长度上界
因 $r \leq 1$ ，有 $sin θ = 1/ (2 r) \geq 1/2$ 。在 $(0, π)$ 内，这等价于 $π /6 \leq θ \leq 5 π /6$ 。
检查范围内均可取得
任取这个闭区间内的 $θ$ ，令 $r = 1/ (2 sin θ)$ ，就有 $0 < r \leq 1$ ，并能与一个单位向量构成面积1/2的平行四边形。因此所求恰为 $[π /6, 5 π /6]$ 。

易错点

把平行四边形面积误写成三角形面积，再多乘1/2。
只给必要范围，没有检查范围中每个角是否都能实现。

小结

向量几何应用常先把形状条件写成模与夹角的等式，再检查可达性。

2024 北京卷第 5 题 · 单选

已知向量 $a, b$ ，则“ $(a + b) \cdot (a - b) = 0$ ”是“ $a = b$ 或 $a = - b$ ”的（　）。

看答案与解析

答案：A

先把数量积条件改写为两个向量模长相等。

化简条件

$(a + b) \cdot (a - b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}$ 。因此左命题等价于 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ 。

判断必要性

若 $a = b$ 或 $a = - b$ ，两向量必等长，左命题成立。

给出非充分反例

取 $a = (1, 0), b = (0, 1)$ ，它们等长，但既不相等也不互为相反向量。故左命题必要而不充分，选 A。

长度信息不足以确定向量方向。