7.1 复数的概念

B。移项得到 $x^2=-1$。因为任何实数的平方都 $\ge 0$，所以在实数范围内不存在平方等于 $-1$ 的数，该方程无实数解。

为了让这类方程也能求解，数学家规定了一个新数 $i$，叫做虚数单位，并规定 $i^2=-1$。这样方程 $x^2=-1$ 就有了新解 $x=\pm i$。

把虚数单位 $i$ 与实数结合起来相加相乘，就得到了更广阔的数系——复数。从此，数不再只排在一条一维数轴上，而是铺开成了整整一个复平面！

B。纯虚数必须同时满足两件事：

• 实部等于 $0$：$2x-4=0⟹x=2$；
• 虚部不等于 $0$：$x+1\ne 0⟹x\ne -1$。

检验：将 $x=2$ 代入得虚部为 $2+1=3\ne 0$，符合条件。选 C 的同学忽略了纯虚数的虚部不能为 $0$：若 $x=-1$，复数为 $-6+0i=-6$，是实数而不是纯虚数！

A。由模长公式：$|z|=\sqrt{a^2+(-2{)}^2}=\sqrt{a^2+4}=\sqrt{13}$，两边平方得 $a^2+4=13⟹a^2=9⟹a=\pm 3$。

因为点落在第四象限，横坐标（实部）必须为正，即 $a>0$，因此 $a=3$。选 C 的同学漏看了象限对符号的正负约束。

A。在代数形式 $z=a+bi$ 中，虚部是 $i$ 前面的实数系数 $b$，带符号是 $-3$，不能带 $i$。选 B 的同学混淆了「虚数项」与「虚部」；选 D 是实部。

B。模长公式为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$。选 C 的同学算出了 $a^2+b^2=4$ 却忘了开平方。

B。纯虚数必须满足两个条件：实部为 $0$ 且 虚部不为 $0$。

• 由实部 $m^2-1=0$ 得 $m=1$ 或 $m=-1$；
• 由虚部 $m-1\ne 0$ 得 $m\ne 1$。

两者综合只能取 $m=-1$。若 $m=1$，则 $z=0$ 是实数，绝不是纯虚数！这是高频陷阱。

C。本章不把实数的大小关系用于一般复数，因此 A、B 的比较没有本章定义的含义，D 也不成立。但模长是实数，可以比较大小：$|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因为 $\sqrt{13}>\sqrt{5}$，所以 C 正确。

B。点在第二象限要求横坐标（实部）小于 $0$ 且纵坐标（虚部）大于 $0$：

• 实部：$a-1<0⟹a<1$；
• 虚部：$a^2-4>0⟹a<-2$ 或 $a>2$。

求交集得 $a<-2$。选 C 的同学将二次不等式 $a^2-4>0$ 误解成了夹在两根之间。

C。从几何意义理解：$|z_1-z_2|$ 表示两点间的距离。$|z-(3+4i)|=2$ 表示动点 $Z$ 到定点 $P(3,4)$ 的距离恒等于 $2$，即点 $Z$ 的轨迹是以 $P(3,4)$ 为圆心、半径 $R=2$ 的圆。

$|z|$ 表示点 $Z$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离。圆心到原点的距离为 $|OP|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

因此圆上的点到原点的最大距离为 $|OP|+R=5+2=7$（最小值为 $5-2=3$）。选 C。