6.2 平面向量的运算

B。小船实际的位移既向北又向东，实际运动是船速与水速的合成。

因为正北与正东互相垂直，两个速度构成了直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，合速度大小为 $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ m/s}$。

如果水流也是正北方向，速度才是 $4+3=7\text{ m/s}$；如果水流正南顺流反冲，速度是 $4-3=1\text{ m/s}$。这说明：两个有方向的量相加，绝不能只把数字加在一起，而要由方向决定几何法则。

这一节我们就来系统搞清平面向量的四种核心运算：加法、减法、数乘以及数量积（内积）。

A。根据向量减法：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$（共起点，指向被减向量）。

再做加法：$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}$（首尾相接，首指向尾）。

选 B 的同学减法终点指反了；选 C 的同学把相反向量和被减向量搞混了。

A。因为 $C$ 在线段 $AB$ 上且 $AC=2CB$，所以 $\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$。

代入 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$。

直观技巧：点 $C$ 更靠近 $B$，所以 $\overrightarrow{OB}$ 权重更大（$\frac{2}{3}$）。选 B 的同学把分比记混了。

B。由夹角公式：$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{-1}{1\times 2}=-\frac{1}{2}$。

因为向量夹角 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，余弦为 $-\frac{1}{2}$ 的角只有 $120^{\circ }$。选 A 的同学算丢了负号，把钝角当成了锐角。

B。由三角形加法法则，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，再加上 $\overrightarrow{CA}$，首尾相接绕回起点 $A$，位移为零向量 $0$。

注意：向量运算的结果依然是向量，必须写成零向量 $0$，而不能写成实数 $0$！选 A 的同学混淆了向量与标量。

A。直接代入数量积定义：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=3\times 4\times \frac{1}{2}=6$。

选 B 的同学错用了正弦 $\sin 60^{\circ }$（把数量积当成了三角形面积公式）；选 C 的同学漏乘了余弦值 $\cos 60^{\circ }$。

B。将等式移项：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=0⟹\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=0$。

由数量积为 $0$ 的充要条件，说明 $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}-\mathbf{c})$（或者 $\mathbf{b}-\mathbf{c}=0$ 即 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$）。

边界提醒：向量数量积没有消去律，绝不能像实数乘法一样两边除以 $\mathbf{a}$ 得出 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$！只要 $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}$ 垂直，$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 就可以完全不相等。选 A 是把向量当成了实数。

B。充分性：若存在实数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$，则两向量必定共线平行，甲能推出乙。

必要性：若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，当 $\mathbf{a}=0$ 且 $\mathbf{b}\ne 0$ 时（零向量与任何向量平行），不存在任何实数 $\lambda$ 能满足 $\mathbf{b}=\lambda 0=0$！因此乙推不出甲。

边界提醒：向量共线定理充要成立的红线是基准向量非零（$\mathbf{a}\ne 0$）。忽略零向量就会误选 A。

A。有向投影值（投影值）为 $|\mathbf{a}|\cos 120^{\circ }=4\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-2$。

而投影长度是投影向量的模长（几何上线段的长度），绝不能为负，必须取绝对值：$|-2|=2$。

边界提醒：长度必非负，有向投影钝角为负。选 B 错在把长度写成了负数；选 C 错在把有向投影的符号丢了。

C。垂直即数量积为 $0$：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-|\mathbf{a}{|}^2=0$，所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}{|}^2=1^2=1$。

代入夹角公式：$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$。因为 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，所以 $\theta =60^{\circ }$。

几何直观：$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 构成以 $\mathbf{b}$ 为斜边的直角三角形，直角边 $|\mathbf{a}|=1$，斜边 $|\mathbf{b}|=2$，夹角正是 $60^{\circ }$。