6.3 平面向量基本定理及坐标表示

给平面挑两个不共线的基准向量，任何向量都能被唯一分解；选单位正交基底，几何图形就彻底变成了有序数对——从此向量加减、求模、判定平行和垂直，全都可以由代数坐标代劳。

本节知识点平面基底与唯一分解正交分解、直角坐标与向量的模向量线性运算与两点向量的坐标共线的坐标判定与直线关系中点与重心的坐标结论三点共线的系数和条件数量积的直角坐标表示坐标中的模、夹角与非零垂直条件

第 1 步

从例子进入

方格棋盘上，巡检无人机停在基准点 $O (0, 0)$ 。它接收两种基础位移指令： $e_{1}$ （向东 $1$ 格）与 $e_{2}$ （向北 $1$ 格）。目标设备在点 $P (4, 3)$ ，先点按钮试飞看看：

互动演示载入中

想一想

下面四种指令组合，哪一种能使无人机从 $O$ 抵达 $P$ ？

看答案与解析

答案：B

B。向东 $4$ 步加上向北 $3$ 步，合位移就是 $4 e_{1} + 3 e_{2}$ 。而且只要目标位置 $P$ 确定，这组步数 $(4, 3)$ 是有且仅有一组的。

更巧妙的是：只要两个基准方向不共线（哪怕不是正东和正北，而是斜着交叉），平面上的任何一个点、任何一条向量，都能用它们唯一地表示出来！

这就是平面向量基本定理。借由这个定理，几何里的线段和夹角，就化作了一目了然的代数坐标。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：向量加法的平行四边形法则、数乘向量与数量积（回看 6.2）；初中平面直角坐标系与勾股定理。

互动演示载入中

基底形式 ①

斜基底分解：任意不共线向量皆可作基

分解唯一：只要 $e_{1}, e_{2}$ 不共线，任意向量 $a = λ_{1} e_{1} + λ_{2} e_{2}$ 的分解系数唯一确立；但绝不能直接套用勾股模长与点积公式，必须用数量积夹角展开。

基底形式 ②

单位正交基底：坐标系与代数化的基石

运算极大简化：基向量互相垂直且模为 $1$ （ $i ⊥ j$ ）。向量直接化为有序数对 $(x, y)$ ，勾股模长 $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ 与数量积 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 畅通无阻。

2. 核心公式与坐标法则

互动演示载入中

想一想

自己试试：在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 边上的中点。若设 $A B = c, A C = b$ ，则中线向量 $A D =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。以 $A B, A C$ 为邻边作平行四边形 $A B E C$ ，对角线 $A E = b + c$ 。因为平行四边形对角线互相平分，中点 $D$ 正好是对角线中点，所以 $A D = \frac{1}{2} A E = \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ 。

想一想

自己试试：已知点 $A (- 1, 3)$ ，向量 $A B = (4, - 2)$ ，则终点 $B$ 的坐标为？

看答案与解析

答案：A

A。设 $B (x, y)$ ，由 $A B = (x - (- 1), y - 3) = (x + 1, y - 3) = (4, - 2)$ ，解得 $x + 1 = 4 ⟹ x = 3$ ， $y - 3 = - 2 ⟹ y = 1$ 。故 $B (3, 1)$ 。选 B 的同学错当成了起点减终点；选 C 的同学把两点坐标直接加反了。

3. 典型例题：三步思维链精讲

例 3（位置关系判定·垂直与共线综合）

已知向量 $a = (3, 4)$ ， $b = (m, - 6)$ 。

(1) 若 $a ∥ b$ ，求实数 $m$ ； (2) 若 $a ⊥ b$ ，求实数 $m$ 。

第一眼·破题信号

看到向量坐标判定平行与垂直 → 核心破题信号：认准「垂直同轴相乘和为 0，共线交叉相乘差为 0」，绝不能记反，更不能用坐标除法！

第二步·套公式拆解

① 共线判定：套用交叉差公式 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ： $3 \times (- 6) - 4 \times m = 0 ⟹ - 18 - 4 m = 0 ⟹ m = - \frac{9}{2}$ ； ② 垂直判定：套用同乘和公式 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ： $3 \times m + 4 \times (- 6) = 0 ⟹ 3 m - 24 = 0 ⟹ m = 8$ 。

第三步·必查防坑点

① 共线是「交叉相乘作差」： $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ，中间是减号； ② 垂直是「对应坐标相乘作和」： $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，中间是加号； ③ 负号带括号： $3 \times (- 6) = - 18$ ，避免负号丢失。

想一想

自己试试：已知向量 $a = (3, 4), b = (x, - 6)$ 。若 $a ∥ b$ ，则 $x$ 的值为？

看答案与解析

答案：C

C。套用共线公式 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ： $3 \times (- 6) - 4 \times x = 0 ⟹ - 18 - 4 x = 0 ⟹ x = - \frac{9}{2}$ 。选 B 的同学误用了垂直公式 $3 x + 4 (- 6) = 0$ ；选 D 的算漏了负号。

4. 这三种情况最容易翻车

再深一点（可以先跳过）

为什么共线是交叉相乘之差：二阶行列式 $x_{1} x_{2} y_{1} y_{2} = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 的几何意义是以 $a, b$ 为邻边的平行四边形的有向面积。面积等于 $0$ ，说明平行四边形压成了一条线段，两向量自然共线。

向量三点共线定理：若点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $O$ 是直线外一点，则必有 $O P = λ O A + μ O B$ ，且实数满足 $λ + μ = 1$ 。当 $λ, μ > 0$ 时， $P$ 在线段 $A B$ 内部；一正一负时， $P$ 在线段延长线上。

第 3 步

动手

① 基础：平面直角坐标系中的双向量与判定器

拖动墨绿点 $A (x_{1}, y_{1})$ 改变向量 $a$ ，拖动赤金点 $B (x_{2}, y_{2})$ 改变向量 $b$ 。观察下方坐标、模长、数量积与判定式徽章的实时计算。键盘操作：Tab 选中端点，方向键每次移动 $1$ 个单位。

互动演示载入中

② 进阶：斜基底 vs 直角基底（为什么斜基底不能套勾股？）

设单位基底 $∣ e_{1} ∣ = 1, ∣ e_{2} ∣ = 1$ ，夹角为 $θ$ 。观察合成向量 $v = 2 e_{1} + 2 e_{2}$ 的真实模长与误套直角坐标勾股公式算出的假模长。拖动滑块改变夹角 $θ$ ：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是专题卡里的高频边界，最后一道是综合挑战。

直接用

想一想

已知点 $A (- 1, 2), B (2, 6)$ ，则向量 $A B$ 的模长 $∣ A B ∣$ 等于？

看答案与解析

答案：A

A。由终点减起点得 $A B = (2 - (- 1), 6 - 2) = (3, 4)$ 。由模长公式： $∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 。选 C 的同学横坐标忘了减去负号（误算成了 $2 - 1 = 1$ ）；选 D 的同学忘了开平方。

想一想

已知向量 $a = (2, 3), b = (- 6, x)$ 。若 $a ⊥ b$ ，则实数 $x =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。两非零向量垂直充要条件是数量积为 $0$ ： $a ⊥ b ⟺ x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 。代入得 $2 \times (- 6) + 3 \times x = 0 ⟹ - 12 + 3 x = 0 ⟹ x = 4$ 。选 A 的同学混淆了共线与垂直公式（误算了 $2 x - 3 (- 6) = 0$ ）；选 C 的符号算错。

易错

想一想

已知向量 $a = (0, 3)$ 与 $b = (m, - 6)$ 共线，则实数 $m =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。牢记共线充要条件是交叉相乘之差为 0： $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 。

代入得 $0 \times (- 6) - m \times 3 = 0 ⟹ - 3 m = 0 ⟹ m = 0$ 。此时 $b = (0, - 6) = - 2 a$ ，两向量都在 $y$ 轴上，完全共线。如果套用「坐标相除」 $\frac{0}{m} = \frac{3}{- 6}$ ，就会陷入分母为 0 的困境甚至误选 A。

想一想

下列各组向量中，不能作为平面向量一组基底的是？

看答案与解析

答案：B

B。基底的数学前提是两个不共线的向量。检查 B 选项： $2 \times 6 - (- 3) \times (- 4) = 12 - 12 = 0$ ，即 $e_{2} = - 2 e_{1}$ ，两向量在同一直线上（共线），无法分解出垂直于该直线方向的分量，因此不能作为基底。其余三组交叉相乘之差均不为 $0$ ，两向量互不共线，都是合格基底。

想一想

已知平面基底 ${e_{1}, e_{2}}$ 满足 $∣ e_{1} ∣ = 1, ∣ e_{2} ∣ = 1$ ，且 $e_{1}$ 与 $e_{2}$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ 。若向量 $a = e_{1} + e_{2}$ ，则模长 $∣ a ∣ =$ ？

看答案与解析

答案：B

B。选 A 的同学直接套用了直角坐标勾股公式 $1^{2} + 1^{2} = 2$ ，这是大忌！只有在单位正交基底（夹角为 $9 0^{\circ}$ ）下勾股公式才成立。这里夹角是 $6 0^{\circ}$ ，必须求模平方： $∣ a ∣^{2} = (e_{1} + e_{2})^{2} = ∣ e_{1} ∣^{2} + 2 e_{1} \cdot e_{2} + ∣ e_{2} ∣^{2} = 1 + 2 \times 1 \times 1 \times cos 6 0^{\circ} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ ，开方得 $∣ a ∣ = 3$ 。

挑战

想一想

点 $O$ 为平面内任一点，向量 $O P = x O A + y O B$ （其中 $O, A, B$ 三点不共线）。则点 $A, P, B$ 三点共线的充要条件是？

需要一点方向提示？

把共线写成 $A P = t A B$ ，再把两边都换成从 $O$ 出发的向量。为什么能比较系数？

看答案与解析

答案：A

A。这是经典的向量三点共线定理。推导如下：

$A, P, B$ 共线 $⟺ A P = t A B$ $⟺ O P - O A = t (O B - O A)$ $⟺ O P = (1 - t) O A + t O B$ 。令 $x = 1 - t, y = t$ ，立得 $x + y = 1$ 。

反过来，只要基底前面的两个系数之和等于 $1$ ，终点 $P$ 就必然落在过 $A, B$ 的直线上。

回顾变式：若要求 $P$ 在线段内部，还须 $x, y > 0$ ；系数和为 $1$ 也允许端点和延长线。比较系数依据基底分解唯一。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2009 北京卷（理科，旧课标）第 2 题 · 单选

已知向量 $a, b$ 不共线， $c = k a + b (k \in R)$ ， $d = a - b$ 。如果 $c ∥ d$ ，那么（　）。

看答案与解析

答案：D

用不共线的a、b作基底。平行关系变成数乘，再比较两组系数。

确认数乘表示可用

$a, b$ 不共线，故 $d = a - b \neq = 0$ ， $c = k a + b \neq = 0$ 。由平行，可写 $c = λ d$ 。

比较基底系数

于是 $k a + b = λ a - λ b$ 。不共线基底表示唯一，得到 $k = λ$ 且 $1 = - λ$ 。

判断方向

解得 $λ = - 1, k = - 1$ ，即 $c = - d$ 。两向量都非零，因此反向，选D。

平面向量基本定理把向量等式转换为唯一的实数系数等式。

2026 新高考Ⅰ卷第 2 题 · 单选

已知平面向量 $a, b$ 不共线，且 $2 a + y b = x a - 3 b$ ，则

看答案与解析

答案：A

把等式移到一边，再利用两个不共线向量不能非平凡地合成为零向量。

移项

原式等价于 $(2 - x) a + (y + 3) b = 0$ 。

比较系数

由于 $a, b$ 不共线，表示唯一，故 $2 - x = 0$ 、 $y + 3 = 0$ 。所以 $x = 2, y = - 3$ ，选 A。

两条不共线向量构成平面的一组基底，其线性表示系数唯一。