3.3 幂函数

算一算：A 是 $4^2=16$，B 是 $4^3=64$，C 是 $\sqrt{4}=2$，D 是 $\frac{1}{4}$。B 最大。

把 $4$ 换成 $x$：四个量分别是 $x^2$、$x^3$、$\sqrt{x}$、$\frac{1}{x}$，再加上最简单的 $x$ 本身。它们都是「$x$ 的几次方」，只是次数不同。

这一节就研究这五个函数：每个能取哪些 $x$、图象长什么样、谁大谁小。

B，$\frac{1}{x}=x^{-1}$。A 多加了 $1$，D 多了系数 $3$。选 C 最常见：$2^x$ 里变的是指数，底数不动，和幂函数正好反过来。

B。任取 $u<v\le 0$，有 $u^2-v^2=(u-v)(u+v)>0$，所以平方函数在这整个区间上递减。例如 $-3<-1$ 时，$9>1$。选 C 是把增区间当成了减区间；选 D 是只想着「越乘越大」，忘了负数那一边。

B。${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$。$\frac{1}{3}>\frac{1}{9}$，正好印证「$0<x<1$ 时 $\sqrt{x}>x$」。选 A 是做成了平方，选 C 是除以了 $2$，选 D 是求成了倒数再开方。

A。都是 $y=\frac{1}{x}$ 的值，它在 $(0,+\infty )$ 上递减，$2.5<3.1$，所以 $\frac{1}{2.5}>\frac{1}{3.1}$。选 B 是照搬了「自变量大，值就大」，那只对增函数成立。

B。$y=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增，$1.5<1.7$，所以 $\sqrt{1.5}<\sqrt{1.7}$。A：$y=x^3$ 递增，应是 $0.3^3<0.4^3$（$0.027<0.064$）；C：$\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，应是 $\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$；D：$-8<-1$。

A。$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，边长从 $4$ 米变成 $5$ 米，增加 $1$ 米。选 B 是面积的增加量（单位也不对，是平方米）；选 C 是算了 $\sqrt{25-16}$，可「开方」不能这样拆开减。

答案是 D。算一下 $x=0.5$：$x^3=0.125$，$x^2=0.25$，$x=0.5$，$\sqrt{x}\approx 0.707$。

凭感觉选 A 是「指数越大，数越大」，这句话只在 $x>1$ 时对。比 $1$ 小的正数，每多乘一次自己就缩小一次，所以 $x^3<x^2<x$；而 $0<x<1$ 时，$\sqrt{x}$ 也在 $(0,1)$ 内；它再乘自己等于 $x$，所以 $x<\sqrt{x}$。以 $x=1$ 为界顺序翻过来，「动手」①里拖一拖就能看到。

答案 C。两部分都要有意义：$\sqrt{x}$ 要 $x\ge 0$，$\frac{1}{x}$ 要 $x\ne 0$，合起来是 $x>0$。

选 B 是只看了 $\sqrt{x}$，忘了 $x=0$ 时 $\frac{1}{x}$ 没意义；选 D 是只看了 $\frac{1}{x}$，忘了负数不能开平方。几个式子加在一起，定义域要取交集。

答案 B。每一支单独看都在往下走，所以分别递减；C 把左边那一支看反了（$x$ 从 $-2$ 到 $-1$，$y$ 从 $-\frac{1}{2}$ 变到 $-1$，是在变小）。

A 错在把两支连起来：取 $-1<1$，函数值却是 $-1<1$，自变量变大、函数值也变大，不符合减函数的定义。「动手」②里把 $A$ 拖到 $0$ 的左边就能看到。本例应说在两个区间上分别递减；不能因为各段递减，就省去跨区间的比较而断言并集上递减。

答案 A。$y=x^3$ 在整个 $\mathbf{R}$ 上递增，$-0.8<-0.6$，所以 $a<b$（算一下：$-0.512<-0.216$）。

$y=x^2$ 在 $(-\infty ,0]$ 上是递减的，$-0.8<-0.6$ 反而得到 $c>d$（$0.64>0.36$）。如果照搬「$x^2$ 是增函数」就会选 B。比大小前先看两个自变量落在哪个单调区间里。