3.2 函数的基本性质

C。6 点到 14 点一个比一个高，14 点以后一个比一个低，最高是 $23^{\circ }$。

「哪一段在升、哪一段在降」「最高是多少」，就是这一节的单调性和最大值、最小值。数学里还要更严：只有四次读数，说「6 点到 14 点一直在升」，得对这段里任意两个时刻都对。这一节后半还讲另一个特点：图象左右对称、绕原点对称，叫奇偶性。

C。配方：$2x^2-5x=2{\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{25}{8}$，对称轴 $x=\frac{5}{4}$ 落在 $[1,3]$ 里，左边一小段在下降：$1<\frac{5}{4}$，而 $f\left(\frac{5}{4}\right)=-\frac{25}{8}<-3=f(1)$。抽查几个点（A）、只比两端（B）都不是「任意」；它的递增区间是 $\left[\frac{5}{4},+\infty \right)$。

A。$\frac{6}{x}$ 在 $[2,6]$ 上递减，左端最大 $f(2)=3$，右端最小 $f(6)=1$。选 B 是当成递增了；选 C 把端点的 $x$ 当成了函数值。

A。定义域 $\mathbf{R}$。$f(-x)=(-x)\cdot |-x|=-x|x|=-f(x)$。选 B 的同学看到绝对值就以为是偶函数，可前面还乘了一个 $x$。

A。偶函数 $f(-2)=f(2)=4-6=-2$。选 B 是把 $-2$ 直接代进 $x\ge 0$ 的式子，可那个式子只管 $x\ge 0$；选 C 是当成奇函数，多了个负号。

A。配方 $f(x)=-(x-2{)}^2+4$，在 $[0,2]$ 上递增、$[2,3]$ 上递减。最大值在拐弯处 $f(2)=4$；最小值比两端：$f(0)=0$，$f(3)=3$，取 $0$。选 B 是只比了两端，漏了顶点；选 C 是两端只看了右端。

A。$f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5$；奇函数在 $0$ 有定义，$f(0)=0$。选 B 是把 $0$ 代进了 $x>0$ 的式子，得 $f(0)=1$，可那个式子不管 $x=0$；选 D 是只给 $x^2$ 加了负号，$-4+1$。

C。（边界：分别单调不保证合并后仍单调。）每一支内部，$x$ 变大 $\frac{1}{x}$ 变小；可跨过 $0$：$-1<1$，$f(-1)=-1<f(1)=1$，反而变大。一对反例就推翻了「减函数」。

所以递减区间写「$(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$」，本例不在两段的并集上递减。选 A 只看了每一支自己内部。

C。（边界：开端点可能取不到。）最小值：$x=0$ 在区间里，$f(0)=0$，而且 $x^2\ge 0$，两条都满足。

最大值：$x$ 越靠近 $2$，$x^2$ 越接近 $4$，可 $2$ 不在区间里，$4$ 取不到（A 错）；$1$ 又压不住，$f(1.5)=2.25>1$（B 错）。比 $4$ 小的数都会被超过，所以没有最大值。

C。对所有 $x$，$f(-x)=0$，既等于 $f(x)$ 也等于 $-f(x)$。A 在已知定义域为全体实数时，把「奇函数 $\Rightarrow f(0)=0$」反过来用了，$x^2$ 就是反例。B 的定义域不关于原点对称，第一步就排除。D：$f(-1)=0$，$-f(1)=-2$，不相等。在图二里点「$\frac{1}{2}{x}^2-2,x\in [-2,3]$」和「$\frac{1}{4}{x}^3-x+1$」看看。

A。第一步，$f$ 在整个 $\mathbf{R}$ 上递增：奇函数两侧单调性相同，$(-\infty ,0]$ 上也递增；左边的值 $\le f(0)=0$，右边的 $\ge 0$，接得上（见「再深一点」）。

第二步，移项再用奇函数：$f(2x-1)>-f(x-2)=f(2-x)$。递增，所以 $2x-1>2-x$，$x>1$。

选 B 是把 $-f(x-2)$ 当成了 $f(x-2)$，得 $2x-1>x-2$；选 C 是把不等号方向弄反了，递增函数去掉 $f$ 时方向不变。