3.1 函数的概念及其表示

C。A、B 都不碍事：按哪个按钮，你都知道会拿到什么。C 不行：按同一个 3 号按钮，出来什么说不准。（要是有个按钮按了什么都不出，也算毛病。）

把按钮看成 $x$，饮料看成 $y$：每个按钮都出东西，而且只出确定的一种。这说明函数所要求的「每个输入都有唯一输出」。饮料机是帮助理解对应关系的比喻；本节正式研究的函数以实数作为输入和输出。看上面的对应图：A 是「两个 $x$ 对应同一个 $y$（多对一）」，B 是「有的 $y$ 没被用到」，这两种都允许；唯独 C 的「一对多」绝对不行。

这一节把这句话说清楚，再学会求定义域、用三种方法表示函数、和分段函数打交道。

B。$0\to 0$ 没问题；可 $1$ 对应 $1$ 和 $-1$，$4$ 对应 $2$ 和 $-2$，不唯一。选 A 的同学多半只检查了 $0$。要一个一个查完，有一个 $x$ 不合格就不是函数。C 不是理由：$A$、$B$ 谁大谁小都不要紧。

A。定义域都是 $\{-1,1\}$；对应关系逐个比：$f(-1)=1=g(-1)$，$f(1)=1=g(1)$，每个 $x$ 得到的数一样。选 B 的同学只看了式子的样子：比的是「每个 $x$ 对应谁」，不是式子长得像不像。

A。$6-2x\ge 0$，即 $2x\le 6$，$x\le 3$。选 B 的同学漏了「$=$」：根号里是 $0$ 也可以，$\sqrt{0}=0$。选 C 的同学把 $-2x\ge -6$ 两边除以 $-2$ 时忘了变号。

C。$1\le 1$，用第一段：$f(1)=2$。再算 $f(2)$：$2>1$，用第二段：$2+3=5$。选 A 的同学只算了里面一层。选 D 的同学把 $x=1$ 放进了第二段，得 $f(1)=4$、$f(4)=7$：分界点归哪段，要看「$\le$」写在哪边。

C。式子 $2x$ 本身对任何实数都有意义，但情境限制了 $x$：笔只能买整支，也不能买负数支，所以 $x\in \mathbf{N}$。图象只有 $(0,0),(1,2),(2,4),\dots$ 这些点，点和点之间没有东西，不能连线。选 A、B 的同学只看了式子，忘了情境。

A。两个 $x$ 都换成 $a+1$：$(a+1{)}^2-2(a+1)=a^2+2a+1-2a-2=a^2-1$。选 B 的同学只换了第一个 $x$，算成了 $(a+1{)}^2-2a$。选 C 的同学以为 $f(a+1)=f(a)+1$：$f$ 不是乘法，也不能这样拆。

A。根号里 $x-1\ge 0$，得 $x\ge 1$；分母 $x-3\ne 0$，得 $x\ne 3$。两条取交集。选 B 漏了 $x=1$（$f(1)=\frac{0}{-2}=0$，能算）；选 C 忘了分母；选 D 以为分母要大于 $0$。

答案是 C。挨个看：$-1\to 1$，$0\to 0$，$1\to 1$。$A$ 里每个 $x$ 都有对应，而且只对应一个数，这就够了。

选 A 的同学把方向弄反了：函数要求的是「一个 $x$ 不能对应两个 $y$」，两个 $x$ 对应同一个 $y$ 完全允许（$y=x^2$ 天天这样）。选 B 的同学以为 $B$ 要被用满：其实只有值域 $\{0,1\}$ 是被用到的那部分，它是 $B$ 的子集，不必等于 $B$。

C。两个都是定义域 $\mathbf{R}$、把每个数变成它的绝对值，换个字母 $t$ 不影响。A：$g$ 的定义域不含 $0$，约分不能把这一点找回来。B：$\sqrt{x^2}=|x|$，$x=-2$ 时 $f=-2$，$g=2$，对应关系不同。D：式子一样，但定义域不同。

B。两段都写了「$=1$」，$x=1$ 就落在两段里，算出 $1$ 和 $2$ 两个值，违反了「唯一」。没有「先写的优先」这种规定。改法：把等号只留在一段，比如第二段写 $x>1$。在「动手」②里按「重置」（$b=0$），选「两段都含 b」，再把竖线拖到 $0$，就能看到一条竖线碰到两个点。

C。不知道 $a$ 在哪一段，就两段都试，解出来再查它是否真在那一段。

若 $a\le 0$：$a^2+1=5$，$a=\pm 2$，只有 $-2$ 满足 $a\le 0$。若 $a>0$：$2a=5$，$a=\frac{5}{2}$，满足 $a>0$。

选 D 的同学忘了检查：$a=2$ 在第二段，$f(2)=4\ne 5$。只选 A 或 B 的同学只试了一段。